1 . 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n个图形中实心区域的面积为.

(1)写出数列和的通项公式；
(2)设，证明.

2 . 定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②：
①；
②．
(1)写出最小的“漂亮数”；
(2)若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”；
(3)在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率．

3 . 某学校举行数学学科知识竞赛，第一轮选拔共设有，，，，五道题，规则为每位参赛者依次回答这五道题，每答对一题加20分，答错一题减10分；若连续答错两道题或五道题全部答完，则第一轮选拔结束．假设参赛者甲同学答对，，，，的概率分别为，，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)记为甲同学本轮答题比赛结束时已答题的个数，求的分布列及数学期望；
(2)第一轮比赛结束后，若参赛者在第一轮出现过连续答对三道题或总分不低于70分，则可进入下一轮选拔，求甲同学能进入下一轮的概率．

4 . 如图，单位圆上的一质点在随机外力的作用下，每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动，设移动次回到起始位置的概率为.

(1)求及的值：
(2)求数列的前项和.

5 . 如图，在区间上，曲线与轴围成的阴影部分面积记为面积，若（为函数的导函数），则.设函数

(1)若，求的值；
(2)已知，点，过点的直线分别交于两点（在第一象限），设四边形的面积为，写出的表达式（用表示）并证明：：
(3)函数有两个不同的零点，比较与的大小，并说明理由.

6 . 已知数列的前项和为，若存在正整数，使得对任意正整数，均有，则称为“型”数列.
(1)若，且为“型”数列，求的最小值；
(2)若为“3型”数列，且，设的所有可能值个数为，证明：.

7 . 设集合或，中的元素，，定义：．若为的元子集，对，都存在，使得，则称为的元最优子集．
(1)若，且，试写出两个不同的；
(2)当时，集合，证明：为的2元最优子集；
(3)当时，是否存在2元最优子集，若存在，求出一个最优子集，若不存在，请说明理由．

8 . 商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中参加抽奖活动．规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客持有分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束．
(1)求顾客3次取球后持有分数的数学期望；
(2)设顾客在抽奖过程中持有分数为分最终获得一等奖的概率为；
①证明：是等差数列；
②求顾客获得一等奖的概率．

9 . 某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有6个灯谜，编号为：个灯谜中猜对1个获“小奖”，猜对3个获“中奖”，猜对6个获“大奖”．
(1)小王从6个灯谜中任取3个作答，设选中编号为的灯谜的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
(2)若小王猜对任一编号灯谜的概率为，求小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率．

10 . 某公司有5台旧仪器，其中有2台仪器存在故障，
(1)现有一位工人从这5台仪器中随机选择3台进行检测，记ξ为这3台仪器中存在故障的台数，求ξ的分布列和数学期望；
(2)为了提高生产，该公司拟引进20台此种新仪器，若每台仪器的运行相互独立，且每台机器在运行过程中发生问题的概率为0.03，记X为这20台新仪器在运行过程中发生故障的台数，借助泊松分布，估计时的概率.
附：①若随机变量ξ的分布列为则称随机变量ξ服从泊松分布．
②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布．即，其中．
③泊松分布表（局部）
表中列出了的值（如：时，

	…	0.5	0.6	0.7	…
0	…	0.606531	0.548812	0.496585	…
1	…	0.303265	0.329287	0.347610	…
2	…	0.075816	0.098786	0.121663	…
3	…	0.012636	0.019757	0.028388	…
4	…	0.001580	0.002964	0.004968	…
5	…	0.000158	0.000356	0.000696	…
6	…	0.000013	0.000036	0.000081	…
7	…	0.000001	0.000003	0.000008	…