1 . 正四棱柱中，点分别在上，且四点共面.

(1)若，记平面与底面的交线为，证明：；
(2)已知，若，求四边形面积的最大值.

2 . 在刚刚结束的巴黎奥运会中，国球再创辉煌，包揽全部5枚金牌，其中最惊险激烈的就是男单 决赛，中国选手樊振东对战日本选手张本智和.比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分.
(1)樊振东首局失利，第二局比赛双方打到 平，此时张本智和连续发球2次，然后樊振东连续发球2次，根据以往比赛结果统计，樊振东发球时他自己得分的概率为0.6. 张本智和发球时樊振东得分的概率为0.5，各球的结果相互独立，遗憾的是该局比赛樊振东最终以 落败，求其以该比分落败的概率；
(2)在本场比赛中，张本智和先以 领先，根据以往比赛结果统计，在后续的每局比赛中樊振东获胜的概率为，张本智和获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，
（ⅰ）假设两人又进行了 局后比赛结束，求 的分布列与数学期望.
（ⅱ）最后樊振东以 拿下了本场比赛，成功晋级半决赛，有媒体报道樊振东从 到实现了“惊天逆转”，同学们也认同这个说法么？请结合本题中的数据简要说明你的理由.

3 . 某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额．
(1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率；
(2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．

4 . 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点且斜率存在的直线族，表示斜率为1的直线族.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若直线族的包络曲线是圆，求满足的关系式；
(2)若点不在直线族的任意一条直线上，对于给定的实数，求的取值范围和直线族的包络曲线；
(3)在（2）的条件下，过直线上一个动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线距离的最大值.

5 . 某公司生产甲、乙两种产品，在该公司的仓库中有甲产品7万件、乙产品3万件，按甲、乙产品的数量比例，用分层随机抽样的方法从这10万件产品中抽取一个容量为10的样本，对样本中的每件产品进行质量检测，测得样本中甲产品的优质品率为，乙产品的优质品率为．
(1)若从样本中再随机抽取3件进行深度测试，求至少抽到2件乙产品的概率；
(2)若从样本中的甲产品和乙产品中各随机抽取2件，将抽到的这4件产品中优质品的件数记为，求的分布列和数学期望．

6 . 如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.

(1)求证：；
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到直线距离的最大值.

7 . 甲、乙两人玩一个掷骰子游戏，游戏规则如下：两人轮流掷骰子，甲先掷，规定甲、乙各掷一次为一个回合．个回合之后，先掷出点数之和为3的倍数的人获胜；若同时掷出3的倍数，则甲、乙平局．如：若甲第一次掷出2，乙第一次掷出3，则乙获胜；若甲第一次掷出2，第二次掷出4，乙第一次掷出1，第二次掷出5，则甲乙平局．若分出胜负或平局，则游戏结束．
(1)试计算恰好3个回合之后甲乙平局的概率；
(2)若两人约定最多只玩2个回合，2个回合之后，无论游戏结果如何，都结束游戏．试计算游戏回合数的数学期望．

8 . 某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立.
(1)若小李在第一关､第二关及第三关通过测试的概率分别为，求小李成功竞聘的概率；
(2)统计得10000名竞聘者的得分，试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.（四舍五人取整）
附：若随机变量，则

9 . 某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：

表1：
序号	数学	物理
1	144	95
2	130	90
3	124	79
4	120	85
5	110	69
6	107	82
7	103	80
8	102	62
9	100	67
10	98	75
11	98	68
12	95	77
13	94	59
14	92	65
15	90	57
16	88	58
17	85	70
18	85	55
19	80	52
20	75	54

(1)数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀.
（i）完成如下列联表；

数学成绩	物理成绩		合计
	优秀	不优秀
优秀
不优秀
合计

（ii）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
(2)从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：
表2：

数学成绩	130	110	100	85	75
物理成绩	90	69	67	70	54

如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.

（i）求样本相关系数；
（ii）建立物理成绩关于数学成绩的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）
参考公式：（1）样本相关系数.
（2）经验回归方程；.
（3），其中.
临界值表：

	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

10 . 对于任意给定的四个实数，，，，我们定义方阵，方阵对应的行列式记为，且，方阵与任意方阵的乘法运算定义如下：，其中方阵，且.设，，.
(1)证明：.
(2)若方阵，满足，且，证明：.