1 . 已知点，，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且，在下列条件中选择一个，并回答问题（1）和（2）．
条件①：；条件②：．
问题：
(1)求曲线的方程；
(2)是否存在一条直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

2 . 平面直角坐标系中，，为坐标原点.
(1)令，若向量，求实数的值；
(2)若点，求的最小值．

3 . “天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌．”天宫课堂”是结合载人飞行任务，贯穿中国空间站建造和在轨运营系列化推出的，将由中国航天员担任“太空教师”，以青少年为主要对象，采取天地协同互动方式开展．2022年10月12日15时40分，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲．学校针对这次直播课，举办了”天宫课堂”知识竞赛，有100名学生代表参加了竞赛，竞赛后对这100名学生的成绩（满分100分）进行统计，将数据分为［60，70），［70，80），［80，90），［90，100]这4组，画出如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中m的值；
(2)估计这100名学生竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(3)若该校准备对本次知识竞赛成绩较好的40%的学生进行嘉奖，试问被嘉奖的学生的分数不低于多少？

4 . 已知椭圆，过点直线，的斜率为，，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点，且，，，任意两点的连线都不与坐标轴平行，直线交直线，于，.

(1)求证：；
(2)的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

5 . 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，函数．
(1)若，求在上的最大值；
(2)设，，求的最小值，其中．

6 . (1)先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：两个骰子点数相同，事件B：点数之和小于7.求，；
(2)某培训机构在假期招收了A，B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115，B班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差．

7 . 已知在平面直角坐标系中，平面内动点P满足．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与轴的交点，E为直线上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求的最小值．

8 . 目前各地已经陆续开展供暖工作，供暖缴费方式有两种，一种是按照流量计费，另一种是按照面积计费.现一小组随机抽查某小区一单元住户进行了解后发现，当住户中有成员按照流量方式缴费时，人均缴费费用为（单位：元），而按照面积方式缴费的人均缴费费用不受的影响，为固定值2100元，请根据上述提供的信息解决下面问题：
(1)当取得何值时，满足流量方式缴费的人均缴费费用等于按照面积方式缴费的人均缴费费用；
(2)已知该小区这一单元住户的人均缴费费用计算公式为，讨论的单调性.

9 . 如函数.
(1)求的定义域.
(2)从下面①②两个问题中任意选择一个解答，如果两个都解答，按第一个解答计分.
①求不等式的解集.
②求的最大值.

10 . 某公司有两种活期理财产品，投资周期最多为一年，产品一：投资1万元，每月固定盈利40元.产品二：投资1万元，前个月的总盈利（单位：元）与的关系式为，已知小明选择了产品二，第一个月盈利10元，前两个月盈利30元.
(1)求的解析式;
(2)若小红有1万元，根据小红投资周期的不同，探讨她在产品一和产品二中选择哪一个能获得最大盈利.