1 . 某电池厂对新研发的一款电池使用情况进行了9次测试.每使用1小时测量一次剩余电量，得到剩余电量(单位:库仑)与使用时间(单位:小时)的数据如下:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	2.77	2	1.92	1.36	1.12	1.09	0.74	0.68	0.53

(1)现从9组数据中选出7组数据作分析，其中剩余电量不足0.8的数据组数记为，求出的分布列和数学期望；
(2)由散点图发现关于的回归方程类型为，设，利用表格中的9组数据回答下列问题:
(i)计算与之间的相关系数(精确到0.01)；
(ii)求关于的回归方程(a，b精确到0.01).
参考数据:.

45	-15.55	1.55	60
12.21	-11.98	2.43	4.38

其中，.
附:对于一组数据，相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:，.

2 . 某化学实验室在进行药品整理过程中，发现有6瓶无色无味的溶液标签遗失，但可以确定其中有2瓶溶液A，4瓶溶液.工作人员需要利用试剂逐一对它们进行检测，直到能鉴别出两种溶液，检测停止.
(1)求在第一次检测出一瓶溶液的条件下，检测进行4次停止的概率；
(2)求检测进行了5次停止的概率；
(3)若检测前发现检测试剂只剩下4盒，每盒只能检测1瓶，求检测试剂够用，且至多能余一盒的概率.

3 . 如图所示，正方体的棱长为a．

(1)过正方体的顶点A，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积；
(2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长；
(3)设正方体外接球的球心为O，求三棱锥的体积．

4 . 某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元；且它们的进价和售价始终不变，现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元．
(1)该公司有几种进货方案？
(2)该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．

5 . 已知为坐标原点，动直线与双曲线的渐近线交于A，B两点，与椭圆交于E，F两点.当时，.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与相切，证明：的面积为定值.

6 . 由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q，.
(1)若，，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：

n	1	2	3	4	5
y	76	56	42	30	26

求y关于n的回归方程，并预测时，y的值；（精确到1）
(2)若，，，，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：.
附：经验回归方程系数：，，，.

7 . 如图1所示，在中，点E，F在线段上，点在线段上，，，，.将△ACE，△BDF分别沿CE，DF折起至点A，B重合为点，形成如图2所示的几何体，在几何体中作答下面的问题.

(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离.

8 . 已知为坐标原点，圆的圆心为点，点与关于原点对称，关于直线的对称点恰在圆上，直线与直线交于点，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设不经过的直线与曲线交于两个不同点，，直线，，的斜率依次成等差数列，记点到直线的距离为，直线上两点，的纵坐标之差为，求的最小值.

9 . 已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，．
(1)求的方程；
(2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上．

10 . 2020年11月2日湖南省衡阳市衡南县清竹村，由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的晚稻品种“叁优一号”亩产为911.7公斤.在此之前，同一基地种植的早稻品种亩产为619.06公斤.这意味着双季亩产达到1530.76公斤，实现了“1500公斤高产攻关”的目标.在水稻育种中，水稻的不同性状对水稻的产量有不同的影响.某育种科研团队测量了株高(单位：cm)和穗长的数据，如下表(单位：株)：

	长穗	短穗	总计
高秆	34	16	50
低秆	10	40	50
总计	44	56	100

(1)根据表中数据判断，能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系？
(2)在采样的稻田里随机抽取3株测量每穗总粒数，把抽取的低杆长穗株数记为X，求X的分布列和数学期望(把频率当成概率计算).
参考公式：，其中.

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828