1 . 已知平面上一动点到定点的距离比到定直线的距离小，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)点为上的两个动点，若恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形的面积为，求证：.

2 . 如图，已知抛物线，点，过点任作两条直线，分别与抛物线交于A，B与C，D.

   

(1)若的斜率分别为，求四边形的面积；
(2)设

（ⅰ）找到满足的等量关系；

（ⅱ）交于点，证明：点在定直线上.

3 . 已知抛物线的焦点为F，且A，B，C三个不同的点均在上.
(1)若直线AB的方程为，且点F为的重心，求p的值；
(2)设，直线AB经过点，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且，求点D的轨迹方程.

4 . 某班社会实践小组在寒假去书店体验图书销售员工作，并对某图书定价x(元)与当天销量y(本/天)之间的关系进行调查，得到了一组数据，发现变量大致呈线性关系，数据如下表所示

定价x（元）	6	8	10	12
销量y（本/天）	14	11	8	7

参考数据：，
参考公式：回归方程中斜率的最小二乘估计值公式为
(1)根据以上数据，求出y关于x的回归直线方程；
(2)根据回归直线方程，预测当该图书每天的销量为4本时，该图书的定价是多少元？

5 . 已知幂函数，
(1)求的值；
(2)若_________写出函数的单调区间（不需证明单调性），并利用的单调性解不等式．
①函数为奇函数；②函数为偶函数，从这两个条件中任选一个填入横线．

6 . （1）图1与图2是一个串、并联电路的示意图，若电路中的组件是独立工作的组件，它们正常工作的概率均为，试比较这两个电路的可靠性；

（2）图3是一个串、并联电路的所意图，A，B，C，D，E，F是电路中独立工作的组件，它们下方的小数是它们各自正常工作的概率，求只有3个组件正常工作且该电路正常工作的概率.

7 . 某商品初始售价定为 元，先涨价10%，一段时间后又降价10%，得到最终售价为元
(1)写出与的关系式
(2)若初始售价为100元，则最终售价为多少钱？

8 . 某公园内有一块场地，如下图所示，当地的文旅集团欲把三块区域种植不同的花草供游客欣赏，已知，，设，（单位：）.

(1)请用表示；
(2)当取何值时，的面积最大，并求最大值.

9 . ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用PLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为.
(1)在某次测试中输入了7个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这7个问题中抽取3个，以表示这抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为，
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.

10 . 若函数在定义域上满足，且时,定义域为的为偶函数.
(1)求证：函数在定义域上单调递增.
(2)若在区间上，；在上的图象关于点对称.
（i）求函数和函数在区间上的解析式.
（ii）若关于x的不等式，对任意定义域内的恒成立，求实数存在时，的最大值关于a的函数关系.