1 . 2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．实验中学某班为弘扬“载人航天精神——特别能吃苦、特别能战斗、特别能攻关、特别能奉献”，举行航天知识问答活动．活动分为A、B两类项目，该班级所有同学均参加活动，且每位同学只能选择一项活动参加．活动参加情况如下表：

	类	类
男同学	25	15
女同学		10

已知从该班级中随机抽取两位同学，在抽取到男同学和女同学各一位的前提下，两位同学均选择类项目的概率为．
(1)求；
(2)判断是否有的把握认为同学选择项目的类别与其性别有关？
附：，.

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

2 . 如图，在四棱锥中，平面，，E是棱PB上一点．
   
(1)求证：平面平面PBC；
(2)若E是PB的中点，求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．

3 . 如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.

(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.

4 . 已知圆过点，且与直线相切于点．
(1)求圆C的方程；
(2)若、在圆上，直线，的斜率之积为，证明：直线过定点．

5 . 如图，已知四边形与均为直角梯形，平面平面EFAD，，，为的中点，.
   
(1)证明：，，，四点共面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴的左、右端点分别为，，短轴的上、下端点分别为，，设四边形的面积为S，且．
(1)求，的值；
(2)过点作直线与交于，两点（点在轴上方），求证：直线与直线的交点在一条定直线上．

7 . 如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝1，CD＝2，BD₁⊥CD.点M为CD₁的中点，且CD₁＝2BM.
   
(1)证明：平面BDM⊥平面BCD₁；
(2)若钝二面角B﹣DM﹣C的余弦值为，当BD₁＞BD时，求直线与平面BCD夹角的余弦值.

8 . （1） 设都是正数，试证明不等式：；
（2）对一切正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围构成的集合.

9 . 如图，在四棱锥中， ，为棱的中点，平面.

(1)证明：平面；
(2)若直线PB与平面的夹角为，求二面角的大小.

10 . 甲，乙两学校进行体育比赛，比赛共设两个项目，每个项目胜方得分，负方得分，平局各得分．两个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为，，甲学校在两个项目中平局的概率分别为，．各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校两场比赛后获得冠军的概率；
(2)用表示甲学校两场比赛的总得分，求的分布列与期望．