2 . 已知直三棱柱中，，，．

(1)若为的中点，证明：平面；
(2)将两块形状与该直三棱柱完全相同的木料按如图所示两种方案沿阴影面进行分割，把木料一分为二，留下体积较大的一块木料．根据你所学的知识，请判断采用哪一种方案会使留下的木料表面积较大，并求出这个较大的表面积和说明理由．

3 . 2021年五--期间，某大型超市举办了一次回馈消费者的有奖促销活动，消费者消费每超过800元（含800元），均可抽奖一次，并获得用相应的奖励（抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种）．抽奖方法及奖励如下：
方案一：从装有10个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球1个，白球2个，黑球7个）的抽奖盒中，一次摸出3个球，奖励规则为：若摸出1个红球和2个白球，享受免单优惠；若摸出2个白球和1个黑球则打4折；若摸出1个红球2个黑球，则打6折；若摸出1个白球2个黑球则打9折，其余情况不打折．
方案二：从装有10个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．
（1）若两个顾客均分别消费了800元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费了1000元，试从数学期望角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？

4 . 某商场对家商铺进行问卷调查，其中一项是他们的月营业额情况，调查发现，他们的月营业额在人民币万元到万元之间，根据统计数据分组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）同一组数据用该组区间的中点值作代表，求这家商铺月营业额的平均数和方差；
（2）该商场计划对这家商铺收取一定的管理费用，对每月的管理费用有两种收费方案.方案一：设，营业额落在区间左侧的每家商铺每月收取元，营业额落在区间内的每家商铺每月收取元，营业额落在区间右侧的每家商铺每月收取元.方案二：按每家商铺一个月营业额的收取.用统计的频率进行估算.哪一种收费方案能使商场收到更多的管理费用？参考数据：.
记：(其中为对应的频率).

7 . 某种机器需要同时装配两个部件才能正常运行，且两个部件互不影响，部件有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月（概率均为；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月（概率均为
（1）若从4件一等品和2件二等品共6件部件中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率．
（2）现有两种购置部件的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购置1件一等品和2件二等品，试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠．

8 . 去年以来新冠肆虐，我国在党中央的领导下迅速控制住新冠疫情，但完全消除新冠的威胁仍需要长期的努力.某医疗企业为了配合国家的防疫战略，决定投入万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入万元.
(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由.（注：）