1 . 已知数列满足，．
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若记为满足不等式的正整数k的个数，设数列的前n项和为，求关于n的不等式的最大正整数解．

2 . 已知函数．
(1)求函数单调区间；
(2)设函数，若是函数的两个零点，求证：．

3 . 已知椭圆过点，A、B为左右顶点，且.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点A作椭圆内的圆的两条切线，交椭圆于C、D两点，若直线CD与圆O相切，求圆O的方程；
(3)过点P作（2）中圆O的两条切线，分别交椭圆于两点Q、R，求证：直线QR与圆O相切.

4 . 设数列的前n项之积为，满足.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项之和为，证明：.

5 . 已知函数，．
(1)函数为函数的导函数，当时，证明：，恒成立；
(2)当时，证明：函数存在极值点，．

6 . 已知椭圆的左顶点为，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设过点的直线与椭圆交于（异于两点）两点，直线，分别与轴交于三点.证明：是线段的中点.

7 . 已知函数．
(1)证明：函数的图象与直线只有一个公共点；
(2)证明：对任意的，；
(3)若恒成立，求a的取值范围．

8 . 已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有2个零点，且，求实数的取值范围，并证明.

9 . 已知函数（为自然对数的底数）．
(1)证明：当时，；
(2)①证明：在区间内有4个零点；
②记①中的4个零点为，，，，且，求证：．

10 . 已知函数，，
(1)判断函数的单调性；
(2)证明：.