1 . 如图，设
内接于
，PA垂直于所在的平面.
（1）请指出图中互相垂直的平面.（要求；列出所有的情形）
（2）若要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对，那么在中需添加一个什么条件？（要求：添加你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形，但必须证明你添加的条件的正确性，答案不唯一）
（3）设D是PC的中点，
（a是常数），试探究在PA上是否存在一点M，使
最小？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
内接于，PA垂直于所在的平面.（1）请指出图中互相垂直的平面.（要求；列出所有的情形）
（2）若要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对，那么在
中需添加一个什么条件？（要求：添加你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形，但必须证明你添加的条件的正确性，答案不唯一）（3）设D是PC的中点，
（a是常数），试探究在PA上是否存在一点M，使最小？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
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2020-01-31更新
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116次组卷
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2卷引用：人教B版(2019) 必修第四册 逆袭之路 第十一章 立体几何初步 11.4.2 平面与平面垂直
20-21高一·全国·课后作业
2 . 按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图，各写出一种分割方法即可).
（1）一个三棱柱和一个多面体;
（2）三个三棱锥.
（1）一个三棱柱和一个多面体;
（2）三个三棱锥.
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解题方法
3 . 如图，在直四棱柱
中，当底面四边形
满足条件时，有
．（填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）
中，当底面四边形满足条件时，有．（填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）
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2023高二上·上海·专题练习
4 . （1）画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）；
中，
，
，
，一只蚂蚁从点
出发沿表面爬行到点
，求蚂蚁爬行的最短路线长.
中，，，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路线长.
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名校
解题方法
5 . （1）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①
；②
；③
与
是异面直线；④
；
以上四个结论中，正确结论的序号是哪些？（无需说明理由，只要写出正确结论的序号即可）
（2）如图，四面体中，
，且直线
与
成60°角，点M、N分别是
、
的中点，求异面直线和所成角的大小.
①
；②；③与是异面直线；④；以上四个结论中，正确结论的序号是哪些？（无需说明理由，只要写出正确结论的序号即可）
（2）如图，四面体
中，，且直线与成60°角，点M、N分别是、的中点，求异面直线和所成角的大小.
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2020-10-11更新
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587次组卷
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4卷引用：8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系-2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第二册）
（已下线）8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系-2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第二册）上海市行知中学2021届高三上学期开学考试数学试题（已下线）课时40 空间直线与直线的位置关系-2022年高考数学一轮复习小题多维练（上海专用）沪教版(2020) 必修第三册 新课改一课一练 阶段检测2
6 . 已知底面为菱形的四棱锥
中，
是等边三角形，平面
平面ABCD，E，F分别是棱PC，AB上的点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立；①F是AB的中点；②E是PC的中点；③
平面PFD.（只需选择一种组合进行解答即可）
中，是等边三角形，平面平面ABCD，E，F分别是棱PC，AB上的点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立；①F是AB的中点；②E是PC的中点；③平面PFD.（只需选择一种组合进行解答即可）
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7 . 如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
（3）如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状.
（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
（3）如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状.
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8 . 在一个长方体的容器中，里面装有少量的水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜．
（1）在倾斜的过程中，水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
（2）在倾斜的过程中，水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
（3）如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底面的一个顶点，上面的第（1）问和第（2）问对不对？
（1）在倾斜的过程中，水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
（2）在倾斜的过程中，水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
（3）如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底面的一个顶点，上面的第（1）问和第（2）问对不对？
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2019-10-28更新
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666次组卷
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5卷引用：人教B版 必修2 必杀技 第一章 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
9 . 请同学们每三人一组，通过实验、猜想、探索和研讨，共同完成下面的课题，并写出课题研究报告，与其他小组进行交流.烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的，现在要用矩形铁片做成一个直角烟筒弯头（如图，单位：
），不考虑焊接处的需要，选用的矩形铁片至少应满足怎样的尺寸？请你设计出一个最合理的裁剪方案.（在矩形铁片上画出的裁剪线应是什么图形？）
），不考虑焊接处的需要，选用的矩形铁片至少应满足怎样的尺寸？请你设计出一个最合理的裁剪方案.（在矩形铁片上画出的裁剪线应是什么图形？）
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解题方法
10 . 根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为
的球挖去一个三棱锥
后得到的几何体，其中
，
平面PAB，
．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长．
的球挖去一个三棱锥后得到的几何体，其中，平面PAB，．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长．
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