1 . 定义可导函数p（x）在x处的函数为p（x）的“优秀函数”，其中为p（x）的导函数．若，都有成立，则称p（x）在区间D上具有“优秀性质”且D为（x）的“优秀区间”．已知．
(1)求出f（x）的“优秀区间”；
(2)设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程有两个不同的实数解、．
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明：（参考数据：）．

2 . 若函数在区间上满足对任意成立，则称为上的“可加函数”.
(1)若在区间上的“可加函数”单调递减，证明：；
(2)若对任意及满足的正实数，都有，则称函数是区间上的“凸函数”. 若对区间上的“凸函数”及给定的正整数，对任意及满足的正实数，都有，证明：对任意及满足的正实数，都有；
(3)设随机变量的可能取值为，记，则. 信息熵是信息论中的一个重要概念，发生概率越高的事件能提供的信息量越少，设随机变量时提供的信息量为，在实际应用中常取等. 定义信息熵为信息量的数学期望，证明：当时，.

4 . 如图所示（省略y轴），设P是函数图像上的一点，是曲线在点P处的切线．若存在点P和，使得曲线在P、处的切线相互垂直，则称曲线上存在以P、为端点的直角弯，简称直角弯．

(1)设，，横坐标为的点P是曲线上一点，求以点P为端点的直角弯的另一个端点的坐标；
(2)设，，试问曲线上是否存在直角弯？若存在，求出端点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)数学建模社研究车辆转弯时，欲引入“平均弯曲率”来粗略地刻画曲线段的弯曲程度，并满足假设：直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大．设曲线上直角弯端点P、的横坐标分别为、，社员想用（记作①）或（记作②）其中之一作为该段直角弯的“平均弯曲率”．请根据圆内半径不同的圆中直角弯的直观感，帮社员们做出决定（将①或②填在答题纸相应位置，无需说明理由）；
(4)设，，“平均弯曲率”如（3）中定义，求曲线上所有直角弯“平均弯曲率”的最大值．

5 . 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，给出下列四个结论：
①函数在无数个点处的曲率为1；
②函数的曲率恒为；
③函数的曲率半径随着变大而变大；
④若函数在与（）处的曲率半径相同，则.
其中，所有正确结论的序号是_____________.

7 . 已知集合，记，，是自然数集
称函数，若对于任意，；
称函数是单调的，若对于任意，；
•称函数是次模的，若对于任意,
已知函数是次模的．
(1)判断是否一定是单调的，并说明理由；
(2)证明：对于任意，，；
(3)若是单调的，是正整数，，记，已知集合满足．初始集合，然后小明重复次如下操作：在集合中选取使得最小的元素加入集合，最终得到集合．证明：