1 . 已知函数．
(1)求的最小值；
(2)设，证明：

2 . 已知函数，其中为实数．
(1)若在区间上单调递增，求的取值范围；
(2)求证：对任意的实数，方程均有解．

3 . 已知函数，.
(1)求证：在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.

4 . 设函数.
(1)讨论函数的单调性.
(2)设数列满足，证明：数列是单调递增数列，且，（其中为自然对数的底）.

5 . 已知定义域为的函数．当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”．
(1)判断函数是否为函数；
(2)是否存在实数，使得函数是函数？若存在，求实数的取值范围；否则，证明你的结论；
(3)已知，其中，证明：若是上的严格增函数，则对任意，都是函数．

6 . 已知函数.
(1)若对任意的恒成立，求的取值范围；
(2)当时，证明：.

7 . 设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”.
(1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由;
(2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由.
(3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有.

8 . 已知函数．
(1)若，求函数的图象在处的切线方程；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围；
(3)求证：，，

9 . 已知函数．
(1)证明：有唯一的极值点；
(2)若，求的取值范围．

10 . 已知函数．
(1)若无极值，求的取值范围；
(2)若关于的方程有2个不同的实数根，求证：．