1 . 已知幂的基本不等式：当，时，．请利用此基本不等式解决下列相关问题：
(1)当，时，求的取值范围；
(2)当，时，求证：；
(3)利用（2）证明对数函数的单调性：当时，对数函数在上是严格增函数．

2 . 已知函数与的定义域为R，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数．
(1)求证：是的生成函数；
(2)若是的生成函数，判断并证明的单调性；
(3)若是的生成函数，实数，求的一个生成函数．

3 . 已知定义在R上的函数与.
（1）对于任意满足的实数p，q，r均有并判断函数的奇偶性，并说明理由
（2）函数与（均为奇函数，在上是增函数，在上是增函数，试判断函数与在R上是否是增函数？如果是请证明，如果不是请说明理由.
（3）函数与均为单调递增的一次函数，为整数当且仅当为整数.求证：对一切，为整数.

4 . 某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米．
(1)求y关于x的函数；
(2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明；
(3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？

5 . 若函数在定义域上满足，且时,定义域为的为偶函数.
(1)求证：函数在定义域上单调递增.
(2)若在区间上，；在上的图象关于点对称.
（i）求函数和函数在区间上的解析式.
（ii）若关于x的不等式，对任意定义域内的恒成立，求实数存在时，的最大值关于a的函数关系.

6 . 如果函数的定义域为，且恒成立，则函数的图像关于直线对称.已知函数
(1)若，求的值;
(2)证明：函数的图像关于对称;
(3)现在已经得知函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，关于的不等式恒成立，求m的取值范围.

7 . 已知函数．对于任意的，都有．
(1)请写出一个满足已知条件的函数；
(2)判断函数的单调性，并加以证明；
(3)若，求的值域．

8 . 设是定义域为的函数，当时，.
(1)已知在区间上严格增，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格增函数；
(2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；
(3)已知，且对任意，当时，有，证明：.

9 . （1）结合函数单调性的定义，证明函数在区间上为严格增函数；
（2）某国际标准足球场长105m，宽68m，球门AB宽7.32m．当足球运动员M沿边路带球突破时，距底线CA多远处射门，对球门所张的角最大？（精确到1米）

10 . 已知函数在上为奇函数，，.
(1)求实数的值；
(2)指出函数的单调性（说明理由，不需要证明）；
(3)设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值.