1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)求证：；
(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

2 . 已知函数：且.
（1）证明：对定义域内的所有都成立；
（2）当的定义域为时，求证：的值域为；
（3）设函数，求的最小值.

3 . 设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．
(1)已知函数，求证：
（ⅰ）；
（ⅱ）函数为下凸函数；
(2)已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求实数的取值范围．

4 . 已知函数（，且）在上的最大值比最小值大2．
(1)求的值；
(2)设函数，求证：为奇函数的充要条件是．

5 . 已知函数 ．
(1)求．
(2)求证：函数在上是单调减函数．
(3)求函数在上的值域．

6 . 已知函数．
(1)当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域；
(2)设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围．

7 . 已知是定义在上的奇函数，且时有．
(1)写出函数的单调区间（不要证明）；
(2)解不等式；
(3)求函数在,上的最大值和最小值．

8 . 已知函数，其中.
(1)当时，若，求的值；
(2)证明：；
(3)若函数的最大值为，求的值.

9 . 已知函数．
(1)用函数单调性的定义去证明：在区间单调递增；
(2)关于x方程恰有两个不同实数根，求k的取值范围．

10 . 已知指数函数的图象过点，为奇函数.
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并用定义法证明；
(3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.