1 . 初中学过哪些类型的函数？那时是怎样认识函数单调性的？经历了高中函数的研究，你对函数单调性有什么新的理解？

2 . 设函数为上的增函数，令．

(1)判断并证明在上的单调性；
(2)若，判断与2的大小关系并证明；
(3)若数列的通项公式为，试问是否存在正整数，使取得最值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

3 . 已知函数，其中，为实数且.
(1)当时，根据定义证明在单调递增；
(2)求集合.

4 . 某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米．
(1)求y关于x的函数；
(2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明；
(3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？

5 . 若函数在定义域上满足，且时,定义域为的为偶函数.
(1)求证：函数在定义域上单调递增.
(2)若在区间上，；在上的图象关于点对称.
（i）求函数和函数在区间上的解析式.
（ii）若关于x的不等式，对任意定义域内的恒成立，求实数存在时，的最大值关于a的函数关系.

6 . 山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 对于函数，如果对其定义域中任意给定的实数，都有，且，就称为“倒函数”．
(1)判断函数是否为“倒函数”，并说明理由；
(2)若定义域为的倒函数的图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增，．
①根据定义，研究在上的单调性；
②若，函数，求在上的值域．

8 . 下列说法能否判断函数在区间上单调递增？
(1)对于任意的，，，都有恒成立；
(2)存在，，使得成立；
(3)对于任意的，都有恒成立，并且对于任意的，都有也恒成立．

9 . 已知函数．对于任意的，都有．
(1)请写出一个满足已知条件的函数；
(2)判断函数的单调性，并加以证明；
(3)若，求的值域．

10 . 证明：当恒为正值或恒为负值时，与具有相反的单调性．