1 . 设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有.
(1)判断并证明区间是否为函数的“美好区间”；
(2)若（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围；
(3)已知定义在上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”.

2 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①函数在区间内是单调函数；②当定义域为时，的值域也是，则称是该函数的和谐区间.
（1）求证：函数不存在和谐区间；
（2）已知：函数有和谐区间，当变化时，求出的最大值；
（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”，试再举一例有和谐区间的函数，并写出它的个和谐区间（不需要证明，但是不能用本题已经讨论过的以及形如的函数）.

3 . 函数的定义域,且满足对于任意、,有，,且时，
（1）判断的奇偶性并证明．
（2）求证在上是增函数，并求满足的的取值范围．

4 . 已知函数．
（1）求证：在上是单调递增函数(用定义证明)；
（2）若在上的值域是，求的值．

5 . 已知函数在定义域上为减函数，且值域为
(1)证明：；
(2)求实数m的取值范围；
(3)求的最大值．

6 . 若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”.
(1)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若，，，求实数a的取值范围；
(3)若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数.

7 . 已知函数.
(1)若为单调函数，求的取值范围；
(2)设函数，记的最大值为.
（i）当时，求的最小值；
（ii）证明：对.

9 . 已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”.
(1)若是“一阶比增函数”，求实数的取值范围；
(2)若是“一阶比增函数”，求证：，，；
(3)若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：有解.

10 . 已知函数．
(1)若在定义域内为单调递减函数，求a的取值范围；
(2)求证：当且时，．