名校
1 . 证明下列各题：
(1)求证：
；
(2)用综合法或分析法证明：若
，则
．
(1)求证：
；(2)用综合法或分析法证明：若
，则．
您最近一年使用：0次
2 . 定义：给定函数
，若存在实数
、
，当
、
、
有意义时，
总成立，则称函数具有“
性质”.
(1)判别函数
是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由；
(2)求证：函数
（
且
）不具有“性质”；
(3)设定义域为
的奇函数具有“
性质”，且当
时，
，若对
，函数
有5个零点，求实数
的取值范围.
，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”.(1)判别函数
是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由；(2)求证：函数
（且）不具有“性质”；(3)设定义域为
的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围.
您最近一年使用：0次
名校
解题方法
3 . 柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：
，等号成立条件为
或
，
，
至少有一方全为0.柯西不等式用处很广，高中阶段常用来证明一些距离最值问题，还可以借助其放缩达到降低题目难度的目的.数列
满足
，
.
(1)证明：数列
为等差数列.
(2)证明：
；
(3)证明：
.
，等号成立条件为或，，至少有一方全为0.柯西不等式用处很广，高中阶段常用来证明一些距离最值问题，还可以借助其放缩达到降低题目难度的目的.数列满足，.(1)证明：数列
为等差数列.(2)证明：
；(3)证明：
.
您最近一年使用：0次
解题方法
4 . 在数列的第
项与第
项之间插入个1，称为变换
．数列通过变换所得数列记为
，数列通过变换所得数列记为
，以此类推，数列
通过变换所得数列记为
（其中
）．
(1)已知等比数列的首项为1，项数为，其前项和为
，若
，求数列的项数；
(2)若数列的项数为3，的项数记为
．
①当时，试用
表示；
②求证：
．
的第项与第项之间插入个1，称为变换．数列通过变换所得数列记为，数列通过变换所得数列记为，以此类推，数列通过变换所得数列记为（其中）．(1)已知等比数列
的首项为1，项数为，其前项和为，若，求数列的项数；(2)若数列
的项数为3，的项数记为．①当
时，试用表示；②求证：
．
您最近一年使用：0次
名校
5 . 如图，是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为
（c为参数，
），当
时，该方程就是双曲余弦函数
类似的有双曲正弦函数
和
的值；
(2)证明：
(3)
不等式
恒成立，求实数m的取值范围．
（c为参数，），当时，该方程就是双曲余弦函数类似的有双曲正弦函数
和的值；(2)证明：
(3)
不等式恒成立，求实数m的取值范围．
您最近一年使用：0次
名校
解题方法
6 . 信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量
所有可能的取值为
，且
，定义的信息熵
.
(1)当
时，计算
；
(2)若
，判断并证明当增大时，的变化趋势；
(3)若
，随机变量
所有可能的取值为
，且
，证明：
.
所有可能的取值为，且，定义的信息熵.(1)当
时，计算；(2)若
，判断并证明当增大时，的变化趋势；(3)若
，随机变量所有可能的取值为，且，证明：.
您最近一年使用：0次
名校
解题方法
7 . 已知
，
，
均为正数，且
.
(1)证明：
；
(2)若
，求，的值，并比较
，
，
的大小.
，，均为正数，且.(1)证明：
；(2)若
，求，的值，并比较，，的大小.
您最近一年使用：0次
8 . 已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)求证：
.
.(1)讨论函数
的单调性；(2)求证：
.
您最近一年使用：0次
名校
9 . 已知函数
，
.
(1)求函数
的值域；
(2)设函数
，证明：
有且只有一个零点
，且
.
，.(1)求函数
的值域；(2)设函数
，证明：有且只有一个零点，且.
您最近一年使用：0次
解题方法
10 . 信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为
，且
，
，定义的信息熵.
(1)当时，计算
；
(2)当
时，试探索的信息熵关于
的解析式，并求其最大值；
(3)若
，随机变量所有可能的取值为
，且
，证明:
.
所有可能的取值为，且，，定义的信息熵.(1)当
时，计算；(2)当
时，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；(3)若
，随机变量所有可能的取值为，且，证明:.
您最近一年使用：0次
