1 . 证明下列各题：
(1)求证：；
(2)用综合法或分析法证明：若，则．

2 . 已知数列满足，
(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前n项和为，求证：.

3 . 证明下列不等式：（1）求证；
（2）如果，，则

4 . 已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)对任意的，求证：.

5 . 信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵.
(1)当时，计算；
(2)当时，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
(3)若，随机变量所有可能的取值为，且，证明:.

7 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：.

8 . 在正项等比数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，证明是等差数列，并求的前项和．

9 . 已知函数，.
(1)当时，求函数的定义域；
(2)当时，判断函数的奇偶性并证明；
(3)给定实数且，试判断是否存在直线，使得函数的图象关于直线对称？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，请说明理由.

10 . 已知为数列的前项积，且，是公比为的等比数列，设.
(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求使的最大整数.