名校
1 . 对于函数
，我们无法直接求出它的零点，数学家牛顿用设切线的方法解决了这个问题.设函数的零点为
，如果可以找到一步步逼近的
，
，
，
，
，使得当
时，
，则可把看做函数
的近似解，这个方法被称为“牛顿法”.具体步骤为：选取合适的，在横坐标为的点作
的切线，切线与
轴的交点的横坐标即，再用代替，重复上面的过程得到，如此循环计算出.我们知道在
处的切线的斜率为
，由此写出切线方程
，因为
，所以令
得切线与轴交点的横坐标
，同理得
，
，以此类推，可以得到
.
(1)对于函数，当
时，求，的值；
(2)已知函数
的定义域R.
①对于函数，若
为公差不为零的等差数列，求证：无零点；
②当
时，运用“牛顿法”证明：
，我们无法直接求出它的零点，数学家牛顿用设切线的方法解决了这个问题.设函数的零点为，如果可以找到一步步逼近的，，，，，使得当时，，则可把看做函数的近似解，这个方法被称为“牛顿法”.具体步骤为：选取合适的，在横坐标为的点作的切线，切线与轴的交点的横坐标即，再用代替，重复上面的过程得到，如此循环计算出.我们知道在处的切线的斜率为，由此写出切线方程，因为，所以令得切线与轴交点的横坐标，同理得，，以此类推，可以得到.(1)对于函数
，当时，求，的值；(2)已知函数
的定义域R.①对于函数
，若为公差不为零的等差数列，求证：无零点；②当
时，运用“牛顿法”证明：
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名校
2 . 设
，函数
．
(1)判断的零点个数，并证明你的结论；
(2)若
，记的一个零点为，若
，求证：
．
，函数．(1)判断
的零点个数，并证明你的结论；(2)若
，记的一个零点为，若，求证：．
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2023-06-02更新
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583次组卷
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6卷引用：福建省福州第三中学2023届高三第二十次质量检测数学试题
福建省福州第三中学2023届高三第二十次质量检测数学试题四川天府新区太平中学2022-2023学年高二毕业班摸底测试（理科）（一）试题（已下线）第二章 函数的概念与性质 第十节 函数与方程（B素养提升卷）（已下线）第十节 函数与方程（B素养提升卷）安徽省皖东十校联盟2024届高三上学期第三次月考数学试题2024届安徽新高考数学预测模拟卷（七）
解题方法
3 . 已知函数
(1)直接写出函数的零点和不等式
的解集；
(2)直接写出函数的定义域和值域；
(3)求证：函数的图象关于点
中心对称；
(4)用单调性定义证明：函数在区间
上是减函数；
(5)设
，直接写出它的反函数
．
(1)直接写出函数
的零点和不等式的解集；(2)直接写出函数
的定义域和值域；(3)求证：函数
的图象关于点中心对称；(4)用单调性定义证明：函数
在区间上是减函数；(5)设
，直接写出它的反函数．
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名校
4 . 已知函数
.
(1)判断函数
的单调性，并证明；
(2)若
，记
，求证：
有且只有一个零点.
.(1)判断函数
的单调性，并证明；(2)若
，记，求证：有且只有一个零点.
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2023-02-18更新
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192次组卷
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3卷引用：江苏省苏州市常熟中学2022-2023学年高一下学期期初数学试题
解题方法
5 . 已知连续不断函数
，
.
（1）求证：函数在区间
上有且只有一个零点；
（2）现已知函数
在上有且只有一个零点(不必证明)，记和在上的零点分别为
，试求
的值.
，.（1）求证：函数
在区间上有且只有一个零点；（2）现已知函数
在上有且只有一个零点(不必证明)，记和在上的零点分别为，试求的值.
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2021-01-31更新
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286次组卷
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3卷引用：湖北省鄂东南新高考联盟2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题
6 . 对于给定的抛物线
，使得实数p、q满足
.
（1）若
，求证：抛物线
与x轴有交点.
（2）证明：抛物线
的最大值大于等于抛物线
的最小值.
，使得实数p、q满足.（1）若
，求证：抛物线与x轴有交点.（2）证明：抛物线
的最大值大于等于抛物线的最小值.
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名校
7 . 已知连续不断函数
，
，
，
（1）证明：函数在区间上有且只有一个零点；
（2）现已知函数
在上单调递增，且都只有一个零点（不必证明），记三个函数
的零点分别为
．
求证：（i）
；
(ii)判断与
的大小，并证明你的结论．
，，，（1）证明：函数
在区间上有且只有一个零点；（2）现已知函数
在上单调递增，且都只有一个零点（不必证明），记三个函数的零点分别为．求证：（i）
；(ii)判断
与的大小，并证明你的结论．
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2018-06-20更新
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292次组卷
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2卷引用：【全国百强校】福建省仙游第一中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题
14-15高一上·湖南张家界·期末
解题方法
8 . 设函数
满足
且
．
（1）求证
，并求
的取值范围；
（2）证明函数在
内至少有一个零点；
（3）设是函数的两个零点，求
的取值范围．
满足且．（1）求证
，并求的取值范围；（2）证明函数
在内至少有一个零点；（3）设
是函数的两个零点，求的取值范围．
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名校
9 . 设
，函数
．
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数恰有两个零点，求证：
．
，函数．(1)讨论函数
的零点个数；(2)若函数
恰有两个零点，求证：．
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解题方法
10 . 已知常数
满足
，且
.
(1)证明：
且
是的一个零点；
(2)若
，使得
，记
，下列结论：
，你认为哪个正确？请说明理由.
满足，且.(1)证明：
且是的一个零点；(2)若
，使得，记，下列结论：，你认为哪个正确？请说明理由.
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