1 . 已知函数，其极大值点和极小值点分别为，记点，直线交曲线于点，若存在常数，使得，则______.

2 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，对任意，且，使恒成立，求正实数的取值范围.

3 . 已知直线与曲线相切于点，若，则的最小值为（       ）

A．-1

B．0

C．

D．

4 . 已知函数()存在两个极值点，，且，则的取值范围为______；的取值范围为______.

5 . 若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为．
(1)证明：①；
②．
(2)求不等式：的解集．
(3)已知函数存在三个零点，求实数的取值范围．

7 . 在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（       ）

A．8

B．9

C．16

D．24

8 . 已知函数，其中．
(1)直接写出的单调区间；
(2)若当时，恒成立，求的取值范围；
(3)证明：．

9 . 2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，某机械厂积极响应决定进行转型升级．经过市场调研，转型升级后生产的固定成本为300万元，每生产万件产品，每件产品需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完．
(1)求利润函数的解析式；
(2)求利润函数的最大值．

10 . 已知函数在处取得极小值0．
(1)求的值，并说明的单调性；
(2)若的一条切线恰好经过点，求切线的方程．