1 . 已知函数.
（1）若存在极值，求的取值范围；
（2）当时，求证：.

2 . 已知函数．
（1）讨论f（x）的极值点的个数；
（2）若f（x）有3个极值点x₁，x₂，x₃（其中x₁＜x₂＜x₃），证明：x₁x₃＜x₂²．

3 . 设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.
（1）求的值；
（2）求函数的极值；
（3）证明:.

4 . 已知函数，其中a为正实数．
（1）若函数在处的切线斜率为2，求a的值；
（2）若函数有两个极值点，，求证：．

5 . 已知函数．
（Ⅰ）不需证明，直接写出的奇偶性：
（Ⅱ）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点：
（Ⅲ）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．

6 . 设函数，其中为正实数.
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，证明.

7 . 已知函数.
（1）求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数.
①若，求证：为在上的上界函数；
②若，为在上的下界函数，求实数的取值范围.

8 . 已知函数（是自然对数的底数）.证明:
（1）存在唯一的极值点;
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数.

9 . 设，
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）若，证明：.

10 . 已知设函数.
（1）若，求极值；
（2）证明：当，时，函数在上存在零点.