1 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)已知，，求证：函数存在极小值.

2 . 已知函数.
(1)若，求的极小值；
(2)若对任意的和，不等式恒成立，求的最大值.

3 . 已知函数有两个不同的零点，分别记为，，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)若不等式恒成立（e为自然对数的底数），求正数k的取值范围．

4 . 已知函数，取点，过其作曲线切线交轴于点 ，取点，过其作曲线作切线交轴于，若，则停止操作，以此类推，得到数列.
(1)若正整数，证明
(2)若正整数，试比较与 大小；
(3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列? 若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由.

5 . 已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围．

7 . 设a为实数，函数．
(1)求的极值；
(2)对于，都有，试求实数a的取值范围．

8 . 已知函数的导函数为．
(1)若，求曲线在点处的切线方程．
(2)若存在两个不同的零点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．

9 . 已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：.

10 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．