1 . 已知曲线：，抛物线：，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有___________
①直线l：是曲线和的公切线：
②曲线和的公切线有且仅有一条；
③最小值为；
④当轴时，最小值为.

2 . 设函数，.
(1)若在处切线的倾斜角为，求；
(2)若在单调递增，求的取值范围；
(3)证明：对任意，.

3 . 已知函数给出下列四个结论：
①若有最小值，则的取值范围是；
②当时，若无实根，则的取值范围是；
③当时，不等式的解集为；
④当时，若存在，满足，则.
其中，所有正确结论的序号为__________.

4 . 激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数．函数是常用的激活函数之一，其解析式为．关于函数的以下结论
①函数是增函数；
②函数是奇函数；
③对于任意实数a，函数至少有一个零点；
④曲线不存在与直线垂直的切线．
其中所有正确结论的序号是___________．

5 . “S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数.

给出下列四个结论：
①对任意，存在，使得；
②对任意，存在，使得；
③对任意，存在，使得；
④对任意，存在，使得.
其中所有正确结论的序号是___________.

6 . 中国魏晋期间伟大的数学家刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用多边形的周长近似代替圆的周长，随着边数的增加，正多边形的周长也越来越接近于圆的周长．这是世界上最早出现的“以直代曲”的例子．“以直代曲”的思想，在几何上，就是用直线或者直线段来近似代替曲线或者曲线段．利用“切线近似代替曲线”的思想方法计算，所得的结果用分数表示为__________．

7 . 已知函数，
(1)直接写出曲线与曲线的公共点坐标，并求曲线在公共点处的切线方程；
(2)已知直线分别交曲线和于点，.当时，设的面积为，其中O是坐标原点，求的最大值.

8 . 如图是某高山滑雪场的一段滑道的示意图，图中该段滑道对应的曲线可以近似看作某个三次函数图像的一部分，A，B两点分别是这段滑道的最高点和最低点（在这个三次函数的极值处）.在A，B两点之间的滑道的最陡处，滑道的坡度为（坡度即坡面与水平面所成角的正切值），经测量A，B两点在水平方向的距离为90m，则它们在竖直方向上的距离约为（　　）

A．20m

B．30m

C．45m

D．60m