1 . 已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时．
（i）求证：函数在上单调递增；
（ii）设区间（其中），证明：存在实数，使得函数在区间I上总存在极值点．

2 . 设是正整数，
(1)求证：当时，
(2)求证：当时，

3 . 若定义在上的函数满足：的单调区间与的单调区间完全相同，则称为“二阶和谐函数”．
(1)求证：是“二阶和谐函数”；
(2)若是“二阶和谐函数”，求实数a的取值范围．

4 . 已知函数，．
(1)当时，求证：．
(2)令，若的两个极值点分别为m，n（m<n）．
①当时，求曲线在，处的切线方程（为的导函数）；
②求证：．

5 . 设函数.
(1)当时，若直线是曲线的切线，求的值；
(2)若函数在区间上严格增，求的取值范围；
(3)若且满足，对任意的，恒有，求证：对任意的，当时，.

6 . 我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p（0＜p＜1），且各个芯片的生产互不影响．
(1)试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，．
①求p；
②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率．
(2)视p为概率，记从试产的芯片中随机抽取n个恰含m（n＞m）个次品的概率为，求证：在时取得最大值．

7 . 已知函数.
(1)若是函数的极值点，证明：；
(2)证明：对于，存在的极值点，满足.

8 . 已知函数．
(1)若是的极值点，求a；
(2)若，分别是的零点和极值点，证明下面①，②中的一个．
①当时，；②当时，．
注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分．

9 . 已知函数，且.
(1)求实数a的值；
(2)求证：存在唯一的极小值点，且；
(3)设，.对，恒成立，求实数b的取值范围.
（参考结论：，）

10 . 已知函数．
(1)求f（x）的最大值；
(2)设实数m，n满足－1≤m＜0＜n≤1，且，求证：．