1 . 已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)当时，求证：（记）．

2 . 已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：.

3 . 已知点，P为平面内一动点，以为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形的面积最小时，求l的方程.

4 . 已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

5 . 已知函数，
(1)若对成立，求实数a的取值范围；
(2)若，函数存在两个极值点，，记的最大值与最小值为，求的值.

6 . 已知函数的图象在处的切线方程为．
(1)求，的值及的单调区间．
(2)已知，是否存在实数，使得曲线恒在直线的上方？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

7 . 已知函数（a为非零常数），记（），．
(1)当时，恒成立，求实数a的最大值；
(2)当时，设，对任意的，当时，取得最小值，证明：且所有点在一条定直线上．

8 . 某剧场的座位数量是固定的，管理人员统计了最近在该剧场举办的五场表演的票价（单位：元）和上座率（上座人数与总座位数的比值）的数据，其中，并根据统计数据得到如下的散点图：

(1)由散点图判断与哪个模型能更好地对与的关系进行拟合（给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果求回归方程；
(2)根据（1）所求的回归方程，预测票价为多少时，剧场的门票收入最多．

参考数据：，，；设，则，，；，，．

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

9 . 已知函数，．
(1)比较，的大小，并说明理由；
(2)已知函数的两个零点为，，证明：．

10 . 如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V．

(1)求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
(2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？