1 . 已知.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，，证明：.

2 . 已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：函数的图象位于直线的下方；
(3)若函数在区间上无零点，求的取值范围.

3 . 已知.
(1)求极小值点的最大值；
(2)证明：当时，恒成立.

4 . 设函数．
(1)讨论的单调性．
(2)证明：．
(3)当时，证明：．

5 . 已知函数．
(1)求的最大值；
(2)证明：当时，．

6 . 已知函数（为常数），记.
(1)若函数在处的切线过原点，求实数的值；
(2)对于正实数，求证：；
(3)当时，求证：.

7 . 已知函数．
(1)当时，证明：有且仅有一个零点．
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
(3)证明：．

8 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：对任意的，．

9 . 对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”.
(1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由；
(2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围；
(3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证.

10 . 若实数集对任何，，均有，则称具有伯努利型关系.
(1)若集合，表示自然数集，判断是否具有伯努利型关系；
(2)设集合，，若具有伯努利型关系，求非负实数的取值范围；
(3)设为正整数，利用（2）中结论证明下面不等式：.