1 . 南海作为我国不可分割的蓝色领土，维护南海主权权益是我国必须坚持的基本立场，如图，南海某岛的海岸线为一段圆弧，其对应的圆心角
．该岛为打击域外船只的骚扰，在海岸线外侧30海里内的海域
对不明船只进行识别查证．在圆弧的两端点
，
分别建有监测站，已知两监测站的直线距离为120海里．的面积；
(2)现海面上点
处有一艘不明船只，在监测站测得不明船只距离点60海里处，在监测站测得不明船只距离点海里
处，试判断该不明船只是否进入海域？并说明理由．
．该岛为打击域外船只的骚扰，在海岸线外侧30海里内的海域对不明船只进行识别查证．在圆弧的两端点，分别建有监测站，已知两监测站的直线距离为120海里．
的面积；(2)现海面上点
处有一艘不明船只，在监测站测得不明船只距离点60海里处，在监测站测得不明船只距离点海里处，试判断该不明船只是否进入海域？并说明理由．
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2 . 如图所示，在单位圆中，
，已知角
的终边与单位圆交于点
，作
，垂足为点M，作
交角
的终边于点T.
（仅用含
的式子表示）；
(2)请根据三角形面积公式及扇形面积公式证明
，已知角的终边与单位圆交于点，作，垂足为点M，作交角的终边于点T.
（仅用含的式子表示）；(2)请根据三角形面积公式及扇形面积公式证明
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解题方法
3 . 球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用．球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离．
纬线，赤道以北叫做北纬．如图1，将地球看作球体，假设地球半径为
，球心为
，北纬
的纬线所形成的圆设为圆
，且
是圆的直径，球面被经过球心和点
，
的平面截得的圆设为圆，求圆中劣弧
的长度，并判断其是否是，两点间的球面距离（只需判断、无需证明）．
(2)如图2，点，在球心为
的球面上，且
不是球的直径，试问，两点间的球面距离所在的圆弧
是否与球心共面？若是，写出证明过程，并求出当
，
时，，两点间球面距离所在的圆弧与球心所形成的扇形
的面积；若不是，请说明理由．
纬线，赤道以北叫做北纬．如图1，将地球看作球体，假设地球半径为，球心为，北纬的纬线所形成的圆设为圆，且是圆的直径，球面被经过球心和点，的平面截得的圆设为圆，求圆中劣弧的长度，并判断其是否是，两点间的球面距离（只需判断、无需证明）．(2)如图2，点
，在球心为的球面上，且不是球的直径，试问，两点间的球面距离所在的圆弧是否与球心共面？若是，写出证明过程，并求出当，时，，两点间球面距离所在的圆弧与球心所形成的扇形的面积；若不是，请说明理由．
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4 . 已知扇形的圆心角是
，半径为，弧长为
.
(1)若
，
，求扇形的弧长.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若
，求扇形的弧所在的弓形的面积.
，半径为，弧长为.(1)若
，，求扇形的弧长.(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角
为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若
，求扇形的弧所在的弓形的面积.
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名校
解题方法
5 . 如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心
，在同一竖直线上，且
，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系
，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为
，
、转动时间为
秒（
）.
时，求点绕转动的弧度数；
(2)分别写出，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，
；
(3)求
的最小值.
，在同一竖直线上，且，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为，、转动时间为秒（）.
时，求点绕转动的弧度数；(2)分别写出
，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，；(3)求
的最小值.
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解题方法
6 . 已知圆锥的顶点为，底面圆的直径的长度为4，母线长为.
为圆上异于点的任意一点，当三角形
的面积达到最大时，求二面角
的大小；
(2)如图2所示，若
，点
在线段
上，一只蚂蚁从点出发，在圆锥的侧面沿着最短路径爬行一周到达点，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求线段
的长度.（上坡表示距离顶点越来越近）
，底面圆的直径的长度为4，母线长为.
为圆上异于点的任意一点，当三角形的面积达到最大时，求二面角的大小；(2)如图2所示，若
，点在线段上，一只蚂蚁从点出发，在圆锥的侧面沿着最短路径爬行一周到达点，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求线段的长度.（上坡表示距离顶点越来越近）
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名校
解题方法
7 . 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线
上的曲线段，其弧长为
，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线
也随着转动到B点的切线
，记这两条切线之间的夹角为
（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义
为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线
在点
处的曲率计算公式为
，其中
．
的圆弧的平均曲率；
(2)已知函数
，求曲线的曲率的最大值；
(3)已知函数
，若
曲率为0时x的最小值分别为
，求证：
．
上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线在点处的曲率计算公式为，其中．
的圆弧的平均曲率；(2)已知函数
，求曲线的曲率的最大值；(3)已知函数
，若曲率为0时x的最小值分别为，求证：．
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2024-05-07更新
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436次组卷
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2卷引用：广东省江门市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次段考数学试题
名校
8 . 位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标，浪漫打卡新高度”的美称.如图，摩天轮的轮径（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80米，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如图，想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点，在乘降点处进入座舱后开始观光，再次回到乘降点时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计.
两个不同的座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧的弧长（单位：米）；
(2)设游客从乘降点处进舱，开始转动分钟后距离地面的高度为
米，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；
(3)若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使（1）中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.
，在乘降点处进入座舱后开始观光，再次回到乘降点时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计.
两个不同的座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧的弧长（单位：米）；(2)设游客从乘降点
处进舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；(3)若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使（1）中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.
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9 . 如图，是半圆
的直径，为中点，
，直线
，点为
上一动点（包括
两点），
与关于直线
对称，记
为垂足，
为垂足．
的长度为
，线段
长度为
，试将
表示为的函数，并判断其单调性；
(2)记扇形
的面积为
，四边形
面积为
，求
的值域．
是半圆的直径，为中点，，直线，点为上一动点（包括两点），与关于直线对称，记为垂足，为垂足．
的长度为，线段长度为，试将表示为的函数，并判断其单调性；(2)记扇形
的面积为，四边形面积为，求的值域．
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2024-04-22更新
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265次组卷
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3卷引用：江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题
10 . （1）在直径为20cm的圆中，圆心角为
，求弧长.
（2）弧长为
，圆心角为135°的扇形，求半径和面积.
，求弧长.（2）弧长为
，圆心角为135°的扇形，求半径和面积.
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