1 . 如图，在△ABC中，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，．当最小时，BD的长为______．

2 . 已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（       ）

A．

B．

C．2

D．

3 . 在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（       ）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等边三角形

D．不能确定

4 . 如图，已知两座山的海拔高度米，米，在BC同一水平面上选一点，测得点的仰角为点的仰角为，以及，则M，N间的距离为____________米.（结果保留整数，参考数据）

   

5 . 已知分别是三个内角的对边，下列关于的形状判断一定正确的为（       ）

A．，则为直角三角形

B．，则为等腰三角形

C．，则为直角三角形

D．，则为等腰三角形

6 . 古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，

   

(1)若，，，（图1），求线段长度的最大值；
(2)若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值；
(3)在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值.

7 . 2024年是宿州市泗县北部新城建立7周年，泗县县政府始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我县民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老厂房、旧仓库变身步行道、绿化带等.现有一足够大的老厂房，计划对其改造，规划图如图中五边形所示，其中为等腰三角形，且，计划沿线段BE修建步行道.

   

(1)求步行道BE的长度；
(2)现准备将区域建为绿化带且，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周长与面积.

8 . 甲船在岛的正南方向处，千米，甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行，同时，乙船自岛出发以6千米/小时的速度向北偏东的方向驶去，航行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是______小时.

9 . 在中，内角所对的边分别是，，，已知.
(1)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
(2)若，且外接圆半径为2，圆心为，为圆上的一动点，试求的取值范围.

10 . 在中，内角，，所对的边分别是，，，且，.
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)求边上的中线的取值范围.