1 . 我国许多地方都有风格迥异的古塔.现在在某塔底共线三点处分别测得塔顶P点的仰角为,,,且,设该塔高为,示意图如图,则该塔高________ m.
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2 . 已知函数.
(1)若,,设函数,请求出的值域并求证:;
(2)若,,,记,且是一个三角形的三条边长,请写出方程的所有正整数解的集合;
(3)若是一个等腰钝角三角形的三条边长且为最长边,求证:在时恒成立.
(1)若,,设函数,请求出的值域并求证:;
(2)若,,,记,且是一个三角形的三条边长,请写出方程的所有正整数解的集合;
(3)若是一个等腰钝角三角形的三条边长且为最长边,求证:在时恒成立.
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3 . 下列说法正确的是( )
A.已知的内角,,的对边分别为,,,若,,且为边上的高,为边上的中线,则的值为 |
B.在中,为所在平面内一点,且,则 |
C.已知在中,角的对边分别是,.若的面积,则的值为或. |
D.在中,分别是的内角所对的边,且.若,,则边长为 |
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4 . 已知的三个角的对边分别为且,点在边上,是的角平分线,设(其中为正实数).
(1)求实数的取值范围;
(2)设函数
①当时,求函数的极小值;
②设是的最大零点,试比较与1的大小.
(1)求实数的取值范围;
(2)设函数
①当时,求函数的极小值;
②设是的最大零点,试比较与1的大小.
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5 . 已知,,分别是的三个内角,,的对边,其中正确的命题有( )
A.已知,,,则有两解 |
B.若,,,内有一点使得,,两两夹角为,则 |
C.若,,,内有一点使得与夹角为,与夹角为,则 |
D.已知,,设,若是钝角三角形,则的取值范围是 |
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6 . “用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当圆锥的轴与截面所成的角不同时,可以得到不同的截口曲线”.利用这个原理,小明在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆(图1),光锥的一条母线恰好与墙面垂直.图2是一个射灯投影的直观图,圆锥的轴截面是等边三角形,椭圆所在平面为,则椭圆的离心率为( )
A. | B. | C. | D. |
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7 . 球面上的三个点,每两个点之间用大圆劣弧相连接,三弧所围成的球面部分称为球面三角形.半径为的球面上有三点,且,则球面三角形的面积为______ .
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8 . 为提升城市景观面貌,改善市民生活环境,某市计划对一公园的一块四边形区域进行改造.如图,(百米),(百米),,,,,,分别为边,,的中点,所在区域为运动健身区域,其余改造为绿化区域,并规划4条观景栈道,,,以及两条主干道,.(单位:百米)(1)若,求主干道的长;
(2)当变化时,
①证明运动健身区域的面积为定值,并求出该值;
②求4条观景栈道总长度的取值范围.
(2)当变化时,
①证明运动健身区域的面积为定值,并求出该值;
②求4条观景栈道总长度的取值范围.
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9 . 某市遇到洪涝灾害.在该市的某湖泊的岸边的O点处(湖岸可视为直线)停放着一艘搜救小船,由于缆绳突然断开,小船被风刮跑(假设小船沿直线匀速漂移).(1)为了找回小船,需要测量小船的漂移速度(请使用km/h作为单位,精确到0.1km/h).
现有两种方案:
①如图1,在湖岸设置一个观察点A,A点距离O点20m.当小船在漂移到B处时,测得;经过15s,小船漂移到C处,测得.又在O点处测量得小船的漂移方向与河岸成30°.请根据以上数据,计算小船的漂移速度.
②如图2,在岸边设置两个观察点A,B,且A,B之间的直线距离为20m,当小船在C处时,测得和;经过20s,小船漂移到D处,测得和.请根据以上数据,计算小船的漂移速度.
(2)如图3,若小船从点O开始漂移的同时,在O点处的一名安全员沿河岸以4km/h开始追赶小船,在此过程中获知小船的漂移方向与河岸成30°,漂移的速度为2.2km/h,于是安全员在河岸上选择合适的地点A下水,以2km/h的速度游泳沿直线追赶小船.问安全员是否能追上小船?请说明理由.
参考数据:,,,.
现有两种方案:
①如图1,在湖岸设置一个观察点A,A点距离O点20m.当小船在漂移到B处时,测得;经过15s,小船漂移到C处,测得.又在O点处测量得小船的漂移方向与河岸成30°.请根据以上数据,计算小船的漂移速度.
②如图2,在岸边设置两个观察点A,B,且A,B之间的直线距离为20m,当小船在C处时,测得和;经过20s,小船漂移到D处,测得和.请根据以上数据,计算小船的漂移速度.
(2)如图3,若小船从点O开始漂移的同时,在O点处的一名安全员沿河岸以4km/h开始追赶小船,在此过程中获知小船的漂移方向与河岸成30°,漂移的速度为2.2km/h,于是安全员在河岸上选择合适的地点A下水,以2km/h的速度游泳沿直线追赶小船.问安全员是否能追上小船?请说明理由.
参考数据:,,,.
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10 . 在平面四边形中,对角线和交于点,分别延长和交于点,连接并延长交于点.(1)如图(1),若四边形为圆的内接四边形,,
(i)求的长;
(ii)求的值;
(2)如图(2),若的面积等于3,当取最小值时,求的面积.
(i)求的长;
(ii)求的值;
(2)如图(2),若的面积等于3,当取最小值时,求的面积.
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