1 . 已知中，过重心的直线交线段于，交线段于，连结并延长交于点，设的面积为，的面积为，．

(1)用表示，并证明为定值；
(2)求的取值范围．

2 . 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_________．
(1)求A；
(2)若，求线段AD长的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

3 . 如图，在中，已知，，，且，边上的两条中线，相交于点.
   
(1)求；
(2)求的余弦值.

4 . 如图，在中，，，，分别在边，上，且满足，，为中点.

(1)若，求实数，的值；
(2)若，求边的长.

5 . 记的内角的对边分别为，的面积为．
(1)求；
(2)若，，为边的中点，求．

6 . 如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于．

(1)用和表示；
(2)求证：．

7 . 如图所示，在四边形中，，，，，，点为四边形的外接圆劣弧（不含端点、）上一动点.

(1)判断的形状，并证明；
(2)若，设，，求函数的取值范围.

8 . 等边外接圆圆心为，半径为上有点．
(1)若为弧中点，求；
(2)求最大值．

9 . 如图，在中，分别是边上的动点.
   
(1)证明：；
(2)当分别是边的中点时，用表示.

10 . 在锐角中，，点O为的外心．
(1)若，求的最大值；
(2)若．
①求证：；
②求的取值范围．