1 . 设
，
是非空集合，定义二元有序对集合
为和的笛卡尔积.若
，则称
是到的一个关系.当
时，则称
与
是相关的，记作
.已知非空集合上的关系是
的一个子集，若满足
，有
，则称是自反的：若
，有，则
，则称是对称的；若
，有，
，则
，则称是传递的.且同时满足以上三种关系时，则称是集合中的一个等价关系，记作~.
(1)设
，
，
，
，求集合
与
；
(2)设是非空有限集合中的一个等价关系，记中的子集
为的等价类，求证：存在有限个元素
，使得
，且对任意
，
；
(3)已知数列
是公差为1的等差数列，其中
，
，数列
满足
，其中
，前
项和为
.若给出
上的两个关系
和
，请求出关系
，判断是否为上的等价关系.如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合
.
，是非空集合，定义二元有序对集合为和的笛卡尔积.若，则称是到的一个关系.当时，则称与是相关的，记作.已知非空集合上的关系是的一个子集，若满足，有，则称是自反的：若，有，则，则称是对称的；若，有，，则，则称是传递的.且同时满足以上三种关系时，则称是集合中的一个等价关系，记作~.(1)设
，，，，求集合与；(2)设
是非空有限集合中的一个等价关系，记中的子集为的等价类，求证：存在有限个元素，使得，且对任意，；(3)已知数列
是公差为1的等差数列，其中，，数列满足，其中，前项和为.若给出上的两个关系和，请求出关系，判断是否为上的等价关系.如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合.
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2 . 已知数列
，
，
，其中
.
(1)设
，证明：数列
是等差数列，并求的通项公式；
(2)设
，
为数列
的前项和，求证：
.
，，，其中.(1)设
，证明：数列是等差数列，并求的通项公式；(2)设
，为数列的前项和，求证：.
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3 . 已知数列满足
，
，
.
（1）证明数列
为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）数列
的前项和为，
，
，求证
.
满足，，.（1）证明数列
为等差数列，并求数列的通项公式；（2）数列
的前项和为，，，求证.
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名校
4 . 对于无穷数列
，“若存在
，必有
”，则称数列具有
性质.
（1）若数列满足
，判断数列是否具有
性质？是否具有
性质？
（2）对于无穷数列，设
，求证：若数列具有
性质，则
必为有限集；
（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有
性质，又具有
性质，是否存在正整数
，
，使得
，
，
，…，
，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
，“若存在，必有”，则称数列具有性质.（1）若数列
满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？（2）对于无穷数列
，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；（3）已知
是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
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2019-06-18更新
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1783次组卷
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5卷引用：江西省吉安市第一中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题（一）
江西省吉安市第一中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题（一）2019年上海市普陀区高三高考三模数学试题广东省湛江市雷州市第二中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（已下线）新题型01 新高考新结构二十一大考点汇总-3（已下线）专题06 数列
名校
5 . 已知数列前项和为
，满足
，
（1）证明：数列
是等差数列，并求；
（2）设
，求证：
.
前项和为，满足，（1）证明：数列
是等差数列，并求；（2）设
，求证：.
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2016-12-03更新
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865次组卷
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5卷引用：2015届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一文科数学试卷
6 . （1）已知等差数列，
，求证：
仍为等差数列；
（2）已知等比数列
，
，类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．
，，求证：仍为等差数列；（2）已知等比数列
，，类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．
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名校
解题方法
7 . 设正项数列的前项之和
，数列
的前项之积
，且
.
(1)求证：
为等差数列，并分别求
的通项公式；
(2)设数列
的前项和为，不等式
对任意正整数恒成立，求正实数
的取值范围.
的前项之和，数列的前项之积，且.(1)求证：
为等差数列，并分别求的通项公式；(2)设数列
的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围.
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2024-04-18更新
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227次组卷
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2卷引用：江西省吉安市第一中学2024届高三三模数学试题
8 . 对正常数
，若无穷数列，满足：对任意的
，均有
，则称数列与具有“”关系．
(1)若无穷数列，的通项公式分别是
，
，判断数列与是否具有“3”关系；
(2)若无穷数列，是公差不相等的两个等差数列，对任意正常数，证明：数列与不具有“”关系；
(3)设无穷数列是公差为
的等差数列，无穷数列是首项为正数，公比为
的等比数列，试求“存在正常数，使得数列与具有‘’关系”的充要条件．
，若无穷数列，满足：对任意的，均有，则称数列与具有“”关系．(1)若无穷数列
，的通项公式分别是，，判断数列与是否具有“3”关系；(2)若无穷数列
，是公差不相等的两个等差数列，对任意正常数，证明：数列与不具有“”关系；(3)设无穷数列
是公差为的等差数列，无穷数列是首项为正数，公比为的等比数列，试求“存在正常数，使得数列与具有‘’关系”的充要条件．
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9 . 设数列的前n项和为，，且
．
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设
，
．
（i）写出数列
的前4项；
（ii）求数列的前
项和．
的前n项和为，，且．(1)求证：数列
为等差数列，并求的通项公式；(2)设
，．（i）写出数列
的前4项；（ii）求数列
的前项和．
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10 . 数列满足
，
，
，
.
(1)证明：数列
为等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)求正整数
，使得
.
满足，，，.(1)证明：数列
为等差数列，并求数列的通项公式；(2)求正整数
，使得.
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2024-05-03更新
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1541次组卷
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4卷引用：江西省八所重点中学2024届高三下学期4月联考数学试卷
江西省八所重点中学2024届高三下学期4月联考数学试卷江西省八所重点中学2024届高三下学期4月联考数学试卷重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）第一章数列章末综合检测卷（新题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）
