1 . 对于数列
，记
，称数列
为数列
的一阶差分数列；记
，称数列
为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于
，记
，规定：
，称
为数列的
阶差分数列．对于数列，如果
（
为常数），则称数列为阶等差数列．
(1)数列
是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？
(2)请用
表示
，并归纳出表示
的正确结论（不要求证明）；
(3)请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列为阶等差数列，则其前
项和为
；
(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？
，记，称数列为数列的一阶差分数列；记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列．(1)数列
是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？(2)请用
表示，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）；(3)请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列
为阶等差数列，则其前项和为；(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？
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2 . 设数集
满足：①任意
，有
；②任意
、
，有
或
，则称数集具有性质
.
（1）判断数集
是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集
且
具有性质.
（i）当
时，求证：
、
、
、是等差数列；
（ii）当、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）
满足：①任意，有；②任意、，有或，则称数集具有性质.（1）判断数集
是否具有性质，并说明理由；（2）若数集
且具有性质.（i）当
时，求证：、、、是等差数列；（ii）当
、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）
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2021-09-26更新
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589次组卷
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7卷引用：北京市一六一中学2022届高三上学期开学考试数学试题
名校
3 . 对于无穷数列
，“若存在
，必有
”，则称数列具有
性质.
（1）若数列满足
，判断数列是否具有
性质？是否具有
性质？
（2）对于无穷数列，设
，求证：若数列具有
性质，则
必为有限集；
（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有
性质，又具有
性质，是否存在正整数
，，使得
，
，
，…，
，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
，“若存在，必有”，则称数列具有性质.（1）若数列
满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？（2）对于无穷数列
，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；（3）已知
是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
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2019-06-18更新
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1788次组卷
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5卷引用：广东省湛江市雷州市第二中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题
广东省湛江市雷州市第二中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题2019年上海市普陀区高三高考三模数学试题江西省吉安市第一中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题（一）（已下线）新题型01 新高考新结构二十一大考点汇总-3（已下线）专题06 数列
解题方法
4 . 记为数列
的前n项积，已知 
(1)证明: 数列
是等差数列；
(2)若将集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列 
求数列
的前
项和
;
(3)已知等比数列
的首项为1，公比为
若 
对任意的
恒成立，求
的值.
为数列的前n项积，已知 (1)证明: 数列
是等差数列；(2)若将集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列 求数列的前项和;(3)已知等比数列
的首项为1，公比为若 对任意的恒成立，求的值.
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名校
解题方法
5 . 设抛物线
的焦点为
，过点的直线与抛物线交于
两点．
(1)若
，求线段
中点
的轨迹方程；
(2)若直线
的方向向量
，当焦点为
时，求
的面积；
(3)若是抛物线
准线上的点，直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，求证：为
的等差中项．
的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点．(1)若
，求线段中点的轨迹方程；(2)若直线
的方向向量，当焦点为时，求的面积；(3)若
是抛物线准线上的点，直线，，的斜率分别为，，，求证：为的等差中项．
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名校
6 . 设和是两个等差数列，记
，其中
表示
，
，，
这
个数中最大的数．
(1)若
，
，求
，
，
的值；
(2)若为常数列，证明是等差数列；
(3)证明：或者对任意正数，存在正整数
，当
时，
；或者存在正整数，使得
，
，
，，是等差数列．
和是两个等差数列，记，其中表示，，，这个数中最大的数．(1)若
，，求，，的值；(2)若
为常数列，证明是等差数列；(3)证明：或者对任意正数
，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得，，，，是等差数列．
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7 . 已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为
，若
成等比数列，且
.
(1)求数列的通项公式；
(2)记
，求证：
.
是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，且.(1)求数列
的通项公式；(2)记
，求证：.
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2024-01-27更新
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1231次组卷
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5卷引用：宁夏石嘴山市第三中学2024届高三上学期开学检测数学（理）试题
名校
8 . 若无穷数列满足：
，对于
，都有
（其中为常数），则称具有性质“
”.
(1)若具有性质“
”，且
，
，
，求；
(2)若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，
，
，
，判断是否具有性质“
”，并说明理由；
(3)设既具有性质“
”，又具有性质“
”，其中
，
，
，求证：具有性质“
”.
满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.(1)若
具有性质“”，且，，，求；(2)若无穷数列
是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；(3)设
既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，，求证：具有性质“”.
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2024-01-17更新
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659次组卷
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6卷引用：北京市东直门中学2024届高三下学期开学检测数学试题
北京市东直门中学2024届高三下学期开学检测数学试题北京市房山区2024届高三上学期期末数学试题（已下线）2024年高考数学二轮复习测试卷（新题型，广东专用）（已下线）黄金卷05（2024新题型）江苏省常州市华罗庚中学2024届高三下学期4月冲刺测试一数学试卷（已下线）2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题平行卷（提升）
名校
解题方法
9 . 已知双曲线
．
(1)求C的右支与直线
围成的区域内部（不含边界）整点（横纵坐标均为整数的点）的个数．
(2)记C的左、右顶点分别为
，过点
的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与
交于点P，证明：点P在定直线上．
．(1)求C的右支与直线
围成的区域内部（不含边界）整点（横纵坐标均为整数的点）的个数．(2)记C的左、右顶点分别为
，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．
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名校
解题方法
10 . 已知数列、满足
，
，
，
.
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求，并证明：
.
、满足，，，.(1)证明：数列
为等差数列，并求数列的通项公式；(2)记数列
的前项和为，求，并证明：.
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2024-02-28更新
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408次组卷
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3卷引用：河北省承德县第一中学等校2023-2024学年高二下学期开学联考数学试题
河北省承德县第一中学等校2023-2024学年高二下学期开学联考数学试题（已下线）5.3.2 等比数列的前n项和（3知识点+8题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）内蒙古呼和浩特市回民区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
