1 . 已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记函数，其中.
（i）证明：对任意，；
（ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.

3 . 数列极限理论是数学中重要的理论之一，它研究的是数列中数值的变化趋势和性质．数列极限概念作为微积分的基础概念，它的产生与建立对微积分理论的创立有着重要的意义．请认真理解下述3个概念．
概念1：对无穷数列，称为数列的各项和．
概念2：对一个定义域为正整数集的函数，如果当趋于正无穷大时，的值无限趋近于一个常数，即当时，，就说常数是的极限值，记为．如：，当时，由反比例函数的性质可知，即记为．当（为常数）时，．
概念3：对无穷数列，其各项和为，若当时，（为常数），即，则称该数列的和是收敛的，为其各项和的极限；若当时，其各项和的极限不存在，则称该数列的和是发散的，其各项和的极限不存在．
试根据以上概念，解决下列问题：
(1)在无穷数列中，，求数列的各项和的极限值；
(2)在数列中，，讨论数列的和是收敛的还是发散的；
(3)在数列中，，求证：数列的和是发散的．

5 . 若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质A”.
①()；②存在实数，使得对任意，有成立.
(1)设，试判断是否具有“性质A”；
(2)设递增的等比数列的前n项和为，若，证明：数列具有“性质A”，并求出A的取值范围；
(3)设数列的通项公式，若数列具有“性质A”，其满足条件的A的最大值，求的值.

6 . 若无穷数列{}满足如下两个条件，则称{}为无界数列：
①（n=1，2，3......）
②对任意的正数，都存在正整数N，使得n>N，都有.
(1)若，（n=1，2，3......），判断数列{}，{}是否是无界数列；
(2)若，是否存在正整数k，使得对于一切，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；
(3)若数列{}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得.

7 . 已知实数列满足：，点（在曲线上．
(1)当且时，求实数列的通项公式；
(2)在（1）的条件下，若表示不超过实数t的最大整数，令，是数列的前n项和，求的值；
(3)当，时，若存在，且对恒成立，求证：．