1 . 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．
已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．
(1)用随机变量X表示A团队第位成员的闯关数，求X的分布列；
(2)已知A团队第位成员上场并闯过第二关，求恰好是第3位成员闯过第一关的概率；
(3)记随机变量表示A团队第位成员上场并结束闯关活动，证明单调递增，并求使的n的最大值．

2 . 在数列中，，.
(1)证明：为等比数列.
(2)设，若是递增数列，求的取值范围.

3 . 已知数列满足，
(1)求证：数列为等差数列;
(2)求数列的通项公式与最大值.

4 . 已知数列的前n项和为，且满足，是3与的等差中项．
(1)设，证明数列是等比数列；
(2)是否存在实数，使得不等式，对任意正整数n都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．

5 . 已知等差数列的首项，前项和为，且；等比数列满足，．
（1）求证：数列中的每一项都是数列中的项；
（2）若，设，求数列的前项的和．
（3）在（2）的条件下，若有，求的最大值．

6 . 已知数列的前n项和为，，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前n项和为，已知，若不等式对于恒成立，求实数m的最大值.

7 . 我们把一系列向量（i=1，2，3，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设表示向量与间的夹角，若，对于任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由.

8 . 已知数列满足：，其中.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，求数列的最大项.