1 . 已知数列是有无穷项的等差数列，，公差，若满足条件：①是数列的项；②对任意的正整数，都存在正整数，使得.则满足这样的数列的个数是______种.

2 . 在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，.
(1)计算；
(2)设数列满足，，求的通项公式；
(3)设排列满足，，，，，证明：.

3 . 若数列满足，其中，则称数列为M数列.
(1)已知数列为M数列，当时.
（ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.

4 . 设数列的前项和为，对一切，点在函数的图象上.
(1)求的表达式；
(2)设为数列的前项积，是否存在实数，使得不等式对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)将数列依次按1项、2项循环地分为，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值.

5 . 已知数列与为等差数列，，，前项和为．
(1)求出与的通项公式；
(2)是否存在每一项都是整数的等差数列，使得对于任意，都能满足．若存在，求出所有上述的；若不存在，请说明理由．

6 . 已知是不相等的正数，在之间分别插入个正数和正数，使是等差数列，是等比数列．
(1)若求的值；
(2)若，如果存在使得，求的最小值及此时的值．

7 . 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.
(1)若，写出及的值；
(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合，求证：且.

8 . 定义在的函数满足，且，都有，若方程的解构成单调递增数列，则下列说法中正确的是（       ）

A．

B．若数列为等差数列，则公差为6

C．若，则

D．若，则

9 . 数列的各项均不为0，前1357项均为正数,且有：,则的可能取值个数为（       ）

A．665

B．666

C．1330

D．1332

10 . 若对，，当时，都有，则称数列受集合制约.
(1)若，判断是否受制约，是否受区间制约；
(2)若，受集合制约，求数列的通项公式；
(3)若记：“受区间制约”，：“受集合制约”，判断是否是的充分条件，是否是的必要条件，并证明你的结论.