名校
解题方法
1 . 已知数列
的前n项和为
．若对每一个
，有且仅有一个
，使得
，则称为“X数列”.记
，，称数列
为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为0，1，
，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若
，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：
．
的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.(1)若
的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；(2)若
，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列
为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．
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2024-05-07更新
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1444次组卷
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4卷引用：专题14 学科素养与综合问题（解答题19）
（已下线）专题14 学科素养与综合问题（解答题19）江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试数学试题黑龙江省牡丹江市第三高级中学2024届高三下学期第四次模拟数学试卷湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期第四次适应性测试数学试题
2 . 已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，满足
，
，
．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列
的前
项和；
(3)若数列
满足
，
，记
．是否存在整数
，使得对任意的
都有
成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，满足，，．(1)求
和的通项公式；(2)求数列
的前项和；(3)若数列
满足，，记．是否存在整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
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2023-11-30更新
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1172次组卷
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3卷引用：专题10 数列不等式的放缩问题 （练习）
3 . 已知数列
的项数均为m
，且
的前n项和分别为
，并规定
．对于
，定义
，其中，
表示数集M中最大的数.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，且
，求
；
(3)证明：存在
，满足
使得
．
的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数. (1)若
，求的值；(2)若
，且，求；(3)证明：存在
，满足 使得．
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2023-06-19更新
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10427次组卷
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17卷引用：专题05数列（成品）
专题05数列（成品）（已下线）2023年北京高考数学真题变式题16-21北京十年真题专题06数列（已下线）数列新定义（已下线）专题6.1 等差数列及其前n项和【九大题型】（已下线）重难点10 数列的通项、求和及综合应用【九大题型】（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）（已下线）专题30 等比数列通项与前n项和（已下线）专题21 数列解答题（理科）-2（已下线）专题21 数列解答题（文科）-3（已下线）专题2 考前押题大猜想6-10专题06数列专题14数列2023年北京高考数学真题北京市丰台区第二中学2024届高三上学期开学考数学试题（已下线）专题05 等比数列与数列综合求和-2023-2024学年高二数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）北京市第八十中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试卷
名校
解题方法
4 . 设是公差不为零的等差数列，满足
，
，设正项数列的前n项和为，且
．
(1)求数列和的通项公式；
(2)在
和
之间插入1个数
，使、、成等差数列；在和
之间插入2个数
、
，使、、、成等差数列；…，在
和
之间插入n个数
、
、…、
，使、、、…、、成等差数列，求
；
(3)对于（2）中求得的
，是否存在正整数m、n，使得
成立？若存在，求出所有的正整数对
；若不存在，请说明理由．
是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且．(1)求数列
和的通项公式；(2)在
和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…，在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，求；(3)对于（2）中求得的
，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
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2022-11-06更新
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1442次组卷
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7卷引用：专题06数列必考题型分类训练-3
（已下线）专题06数列必考题型分类训练-3（已下线）专题1 数列的单调性 微点5 数列单调性的判断方法（五）——递推法（已下线）专题17 数列探索型、存在型问题的解法 微点2 数列存在型问题的解法上海市进才中学2022届高三下学期期中数学试题湖北省部分名校2023届高考适应性考试数学试题上海市行知中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题上海市吴淞中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题
名校
解题方法
5 . 已知数列
满足
，
；
(1)设
，
，
，求证：数列
为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)设
，，，数列
是否有最大项，最小项？若有，分别指出第几项最大，最小；若没有，试说明理由；
满足，；(1)设
，，，求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；(2)设
，，，数列是否有最大项，最小项？若有，分别指出第几项最大，最小；若没有，试说明理由；
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名校
解题方法
6 . 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，人们把函数
，
称为高斯函数（其中
表示不超过x的最大整数，例如：
，
）．已知数列的首项，前n项和记为．若k为函数
，
值域内的任意元素，且当整数
时，都有
成立，则的通项公式为______ ．
，称为高斯函数（其中表示不超过x的最大整数，例如：，）．已知数列的首项，前n项和记为．若k为函数，值域内的任意元素，且当整数时，都有成立，则的通项公式为
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解题方法
7 . 对非空数集
，
，定义与的和集
.对任意有限集
，记
为集合中元素的个数.
(1)若集合
，
，写出集合
与
；
(2)若集合
满足
，
，且
，求证：数列
，
，
，
是等差数列；
(3)设集合满足，，且
，集合
（
，
），求证：存在集合满足
且
.
，，定义与的和集.对任意有限集，记为集合中元素的个数.(1)若集合
，，写出集合与；(2)若集合
满足，，且，求证：数列，，，是等差数列；(3)设集合
满足，，且，集合（，），求证：存在集合满足且.
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2022-03-30更新
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1764次组卷
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4卷引用：专题01 集合与常用逻辑用语（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）
名校
解题方法
8 . 已知函数
．若数列的前n项和为，且满足
，
，则
的最大值为（ ）
．若数列的前n项和为，且满足，，则的最大值为（ ）| A．9 | B．12 | C．20 | D． |
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2022-02-10更新
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2064次组卷
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8卷引用：技巧01 选择题解法与技巧（练）--第二篇 解题技巧篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）》
（已下线）技巧01 选择题解法与技巧（练）--第二篇 解题技巧篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）》（已下线）第02讲 等差数列（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）（已下线）专题10 数列通项公式的求法 微点1 观察法（不完全归纳法）、公式法（已下线）【练】专题3 数列范围（最值）问题浙江省镇海中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题（已下线）高二数学下学期期末精选50题（压轴版）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）浙江省金华十校2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题（已下线）高二上学期期末【压轴60题考点专练】（选修一+选修二）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第一册）
2022高三·全国·专题练习
解题方法
9 . 已知数列
为等差数列，
，其前项和为
，数列
为等比数列，且
对任意的
恒成立.
(1)求数列、的通项公式；
(2)是否存在
，
，使得
成立，若存在，求出所有满足条件的，
；若不存在，说明理由；
(3)是否存在非零整数
，使不等式
对一切
都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
为等差数列，，其前项和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立.(1)求数列
、的通项公式；(2)是否存在
，，使得成立，若存在，求出所有满足条件的，；若不存在，说明理由；(3)是否存在非零整数
，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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10 . 设各项均为正数的数列的前n项和为
（1）若
，求数列的通项公式；
（2）若
（
，
，
为常数），且
，求数列的通项公式；
（3）若
（，
，、为常数），且，求数列的通项公式；
（4）若
（，
，、、c为常数），且，求证为等差数列．
的前n项和为（1）若
，求数列的通项公式；（2）若
（，，为常数），且，求数列的通项公式；（3）若
（，，、为常数），且，求数列的通项公式；（4）若
（，，、、c为常数），且，求证为等差数列．
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