1 . 已知数列的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
(1)若数列，且，，求数列和集合T；
(2)若是递增的等差数列，求证：；
(3)请你判断是否存在最大值，并说明理由

2 . 某同学在研究二项式定理的时候发现：其中为的系数，它具有好多性质，如：①;②;③；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题:
(1)计算：；(请用数字作答)
(2)若，且，证明：；
(3)设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数.

3 . 已知数列中，其前n项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)是否存在正整数m，n，使得，，成等差数列？若存在，求出m，n；若不存在，请给出证明．

4 . 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且满足.
(1)若a，b，c成公差为2的等差数列，求a；
(2)记△ABC的周长为L，求证：.

5 . 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列.
(1)证明：是等差数列；
(2)若可构成三角形的三边，求的取值范围.

6 . 已知动直线与圆相切，动点到、两点的距离之和与、两点到直线的距离之和相等.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与轨迹交于、两点，并使为线段的中点，且轨迹上的点满足.求证：、、成等差数列.

7 . 已知数列为等差数列.
（1）求证：；
（2）设，且其前项和，的前项和为，求证：.

8 . 在中，角，，所对的边分别为，，.且满足.
求证：，，成等差数列；
若的面积为，其外接圆半径，求的值.

9 . 已知数列满足，是否存在等差数列，使对一切正整数都成立？请证明你的结论.

10 . 已知函数（），且不等式对任意的都成立，数列是以为首项，公差为1的等差数列（）.
（1）当时，写出方程的解，并写出数列的通项公式（不必证明）；
（2）若（），数列的前项和为，对任意的，都有成立，求的取值范围.