1 . 已知等差数列中，且，，成等比数列、数列的前n项和为，满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）将数列，的公共项按原来的顺序组成新的数列，试求数列的通项公式，并求该数列的前n项和.

2 . 已知函数的定义域为D，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质.
（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数具有性质，求及应满足的条件；
（3）已知函数不存在零点，当时具有性质（其中，），记，求证:数列为等比数列的充要条件是或.

3 . 已知数列满足，且时，，，成等差数列．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和．

4 . 某景点上山共有级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为.为了简便描述问题，我们约定，甲从级台阶开始向上走，一步走一个台阶记分，一步走两个台阶记分，记甲登上第个台阶的概率为，其中，且.
（1）若甲走步时所得分数为，求的分布列和数学期望；
（2）证明：数列是等比数列；
（3）求甲在登山过程中，恰好登上第级台阶的概率.

5 . 已知数列满足，．
（1）写出该数列的前4项，并归纳出数列的通项公式；
（2）证明：．

6 . 若无穷数列满足对所有正整数成立，则称为“数列”，现已知数列是“数列”.
（1）若，求的值；
（2）若对所有成立，且存在使得，求的所有可能值，并求出相应的的通项公式；
（3）数列满足，证明：是等比数列当且仅当是等差数列．

7 . 数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，且，求证：是等比数列；
（3）求的值.

8 . 是否存在这样的函数，，使，且，？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由.

9 . 设数列的前项和为，且.
(1) 求；
(2) 求数列的通项公式.

10 . 设数列共有项，记该数列前项，，…，中的最大项为，该数列后项，，…，中的最小项为，（1，2，3，…，）.
（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；
（2）若数列是单调数列，且满足，，求数列的通项公式；
（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由.