1 . 已知数列满足，，，成等差数列.
(1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)记的前n项和为，证明：.

2 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
(1)写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意，恒有成立，求实数的取值范围；
(3)正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

3 . 已知数列的前项和为，且满足.
(1)当时，求;
(2)若，设，求的通项公式.

4 . 一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2.现将此正四面体任意抛掷次，落于水平的桌面，记次底面的数字之和为.
(1)当时，记为被3整除的余数，求的分布列与期望；
(2)求能被3整除的概率.

5 . 在数列中，且满足（且）．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．

6 . 已知各项均为正数的数列满足：，且，.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，，求.

7 . 设数列的前项和为，且，，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前n项和.

8 . 已知数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列中，，证明：，（）．

9 . 已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明.

10 . 已知数列的前项和为，在①，②这两个条件中任选一个，并作答．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和．证明：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）