解题方法
1 . 已知
是常数，在数列
中，
，
（1）若
，求
的值；
（2）若=4，证明：数列
是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设数列
的前
项和为
，求证：
.
是常数，在数列中，，（1）若
，求的值；（2）若
=4，证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，设数列
的前项和为，求证：.
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2 . 在数列中，
，
，记
.
（Ⅰ）证明：数列
是等比数列；
（Ⅱ）记
，数列
的前n项和为，求证：
．
中，，，记.（Ⅰ）证明：数列
是等比数列；（Ⅱ）记
，数列的前n项和为，求证：．
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3 . 已知等差数列
的前项和为，且
，
．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：
的前项和为，且，．(1)求数列
的通项公式；(2)证明：
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名校
4 . 对于函数
，若实数
满足
，则称为的不动点．已知
且
的不动点的集合为
，以
表示集合
中的最小元素．
(1)若
，求中元素个数；
(2)当恰有一个元素时，
的取值集合记为
．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若为中的最小元素，数列满足，
．求证：
， 
．
，若实数满足，则称为的不动点．已知且的不动点的集合为，以表示集合中的最小元素．(1)若
，求中元素个数；(2)当
恰有一个元素时，的取值集合记为．（ⅰ）求
；（ⅱ）若
为中的最小元素，数列满足，．求证：， ．
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5 . 材料一：有理数都能表示成
，（
，且
，s与t互质）的形式，进而有理数集可以表示为{
且，s与t互质}.
材料二：我们知道．当
时，可以用一次多项式近似表达指数函数，即
；为提高精确度.可以用更高次的多项式逼近指数函数．
设
对等式两边求导，
得
对比各项系数，可得：
，
，
，…，
；
所以
，取
，有
，
代回原式：
．
材料三：对于公比为
的等比数列，当
时，数列的前n项和
.
阅读上述材料，完成以下两个问题：
(1)证明：无限循环小数3.7为有理数；
(2)用反证法证明：e为无理数（e＝2.7182^为自然对数底数）．
，（，且，s与t互质）的形式，进而有理数集可以表示为{且，s与t互质}.材料二：我们知道．当
时，可以用一次多项式近似表达指数函数，即；为提高精确度.可以用更高次的多项式逼近指数函数． 设
对等式两边求导，得
对比各项系数，可得：
，，，…，；所以
，取，有，代回原式：
．材料三：对于公比为
的等比数列，当时，数列的前n项和.阅读上述材料，完成以下两个问题：
(1)证明：无限循环小数3.7为有理数；
(2)用反证法证明：e为无理数（e＝2.7182^为自然对数底数）．
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6 . 设
，
，为数列
的前项和，令
，
，
．
(1)若
，求数列
的前项和
；
(2)求证：对
，方程
在
上有且仅有一个根；
(3)求证：对
，由（2）中
构成的数列
满足
．
，，为数列的前项和，令，，．(1)若
，求数列的前项和；(2)求证：对
，方程在上有且仅有一个根；(3)求证：对
，由（2）中构成的数列满足．
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解题方法
7 . 已知数列满足
.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，求证：
.
满足.(1)求数列
的通项公式；(2)数列
的前项和为，求证：.
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解题方法
8 . 已知为等比数列，且为数列的前项和，
，
.
(1)求的通项公式；
(2)令
，求证：
.
为等比数列，且为数列的前项和，，.(1)求
的通项公式；(2)令
，求证：.
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9 . 已知数列的首项，且
．
(1)证明：
是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
的首项，且．(1)证明：
是等比数列；(2)求数列
的前n项和．
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名校
10 . 已知函数
．
(1)当
时，证明：
有且仅有一个零点．
(2)当
时，
恒成立，求a的取值范围．
(3)证明：
．
．(1)当
时，证明：有且仅有一个零点．(2)当
时，恒成立，求a的取值范围．(3)证明：
．
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2024-04-23更新
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998次组卷
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4卷引用：云南省昆明市第八中学2023-2024学年高二下学期月考二数学试卷
