1 . 已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且
(1)求和的通项公式；
(2)记，其中，求数列的前项的和．

2 . 为数列的前n项和，已知．
(1)证明：；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入数列的前k项，使它们和原数列的项构成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前50项和．

3 . 2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”亮相上海展览中心.为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动.为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率.
(1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从顾客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求

4 . 已知数列是等差数列，为等比数列，且，.
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前n项和.

6 . 数列中，，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.

7 . 已知数列满足，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列___________的前项和.
从条件①，②，③中任选一个，补充到上面的问题中，并给出解答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

8 . 已知数列的前n项和满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设．求数列的前n项和T_n．

9 . 在数列中，，．
（1）设，证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）设为数列的前n项和，证明：．

10 . 已知为等差数列的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设， 为数列的前项和，求证：.