1 . 如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，、、、分别是、、、的中点.

(1)求证:平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值;
(3)点在线段上，若直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长.

2 . 如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，M，N分别是对角线，上异于端点的动点，且.

(1)求证：直线平面；
(2)当的长最小时，求二面角的余弦值．

3 . 如图，在三棱柱中，平面，，，，点分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.

4 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，AC､BD相交于点O，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，过E作交PB于点F，连接DF，BE.

(1)求证：平面BDE；
(2)求二面角的余弦值；
(3)取PA中点G，判断直线DG与平面DEF的位置关系.

5 . 如图，四棱柱中，四边形为矩形，且平面平面，，，，，分别为，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求与平面所成的角的正弦值.

6 . 如图，四棱柱中，四边形为矩形，且平面平面ABCD，，，，M，E分别为，的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，求点M到平面ADE的距离．

7 . 如图甲，在 中，∠B=90°，BC=1，AB=2，D、E分别是AB、AC边上的动点（除去端点），满足，.现将△ 沿DE折起，使点A到达点A'的位置，连接A'B，A'C得到如图乙所示的四棱锥A'-DBCE.

(1)设l为平面A'DE与平面的交线，求证：l//平面DBCE；
(2)若A'D⊥BD，则当为何值时，四棱锥A'-DBCE的体积最大？

8 . 如图，在多面体中，平面平面，其中与都是面积为的等边三角形，，点在平面上的射影落在中边的中线上，且直线与平面所成角的大小为30°.

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.

9 . 如图，在三棱柱中，为棱的中点，平面．

(1)试确定点的位置，并证明平面；
(2)若是等边三角形，，，且平面平面，求四面体的体积．

10 . 如图，已知圆的直径长为4，点是圆弧上一点，，点是劣弧上的动点，点是另一半圆弧的中点，沿直径，将圆面折成直二面角，连接.

(1)若面时，求的长；
(2)当三棱锥体积最大时，求二面角正切值.