1 . 如图，在长方体中，
分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・

2 . 如图，已知长方体，，，直线BD与平面所成角为30°，AE垂直BD于E．

(1)若F为棱的动点，试确定F的位置，使得平面，并说明理由；
(2)若F为棱的中点，求点A到平面的距离；
(3)若F为棱上的动点（除端点､外），求二面角的平面角的范围．

3 . 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点．

(1)求证：平面；
(2)若，求异面直线与所成的角的余弦值．

4 . 在正方体中，M，N，P分别为，AD，的中点，棱长为1．

(1)求证：平面；
(2)过M，N，P三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长．

5 . 如图，正四棱柱中，，为棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

6 . 在2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接．如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆，，，，与圆柱底面相切于A，，，四点，且圆与，与，与，与分别外切，线段为圆柱的母线．点线段中点，点在线段上，且．已知圆柱，底面半径为2，.

(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面?若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由；
(3)如图，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图．天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，即，，，共线．核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形．已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，．在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值．

7 . 如图，在直三棱柱中，，，，点 分别为的中点．

(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．

8 . 在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．

9 . 如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M是A₁D的中点，则正确结论为_______

①直线MB与直线B₁D₁相交，直线MB平面ABC₁
②直线MB与直线D₁C平行，直线MB⊥平面A₁C₁D
③直线MB与直线AC异面，直线MB⊥平面ADC₁B₁
④直线MB与直线A₁D垂直，直线MB∥平面B₁D₁C

10 . 已知四棱锥的底面是菱形.

(1)求证：平面；
(2)若，求证：平面；
(3)若，平面平面，试判断是否为等腰三角形，并说明理由.