1 . 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，侧面为正三角形，且与底面垂直，E为的中点，M在上，满足．

(1)当时，证明：平面；
(2)当二面角为时，求的值．

2 . 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的动点，为上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）．

(1)求证：当为的中点时，平面
(2)若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的取值范围．
(3)求三棱锥的体积的最大值．

3 . 如图，直棱柱中，底面为梯形，，且分别是棱，的中点.

   

(1)证明：平面平面；
(2)已知，求直线与平面所成角的正弦值.

4 . 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点.

   

(1)证明：平面平面；
(2)证明平面，并求直线到平面的距离.

5 . 图1是由正方形和正三角形组成的一个平面图形，将沿折起，使点到达点的位置，为的中点，如图2．

   

(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．

6 . 如图所示，在三棱柱中，点G、M分别是线段AD、BF的中点.
   
(1)求证：平面BEG；
(2)若三棱柱的侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面平面ADEF，求二面角的余弦值；

7 . 如图所示，在正四面体中，，点为线段AB上靠近A点的四等分点，I、H分别为线段AD、AC的中点，直线GH与直线BC交于点E，直线GI与直线BD交于点F．

(1)证明：；
(2)设M为线段EF的中点，求直线GM与平面ABC所成角的正弦值．

8 . 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，平面，，M为PB的中点.

(1)求证：直线平面PCD；
(2)若，，求直线EM与平面PCE所成角的正弦值.

9 . 在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．
   
(1)若为AB的中点，求证：直线平面；
(2)若点在棱上且，求点C到平面的距离．

10 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点．

(1)求证：；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小．
条件①：；
条件②：平面平面；
条件③：．