1 . 如图1，矩形中，，将三角形沿着线段翻折，正方形沿着翻折，使得与重合，与重合，得到如图2所示的几何体，其中，平面⊥平面，点为线段的中点，点在线段上，且．

(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．

2 . 如图，ACDE为菱形，，，平面平面ABC，点F在AB上，且，M，N分别在直线CD，AB上．

(1)求证：平面ACDE；
(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线CD，AB的公垂线，求的值；
(3)记直线BE与平面ABC所成角为，若，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．

3 . 如图所示，四边形为梯形，，，，以为一条边作矩形，且，平面平面．

   

(1)求证：；
(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为，它们的面积分别记为和，则．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段上存在点，使得．请你对乙同学发现的结论进行证明．

4 . 2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，m，m，m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，m，，平面平面ABCD．

(1)求点H到平面ABCD的距离；
(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．

5 . 已知正方体，棱长为2.

(1)求证：平面；
(2)若平面平面，且平面与正方体的棱相交，当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图形（不必说出画法和理由），并求出截面面积的最大值；
(3)在（2）的情形下，设平面与正方体的棱、、交于点、、，当截面的面积最大时，求二面角的余弦值.

6 . 在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，.

(1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值；
(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值：
(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.

①求W的体积的值；

②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.

7 . 如图，圆锥的底面半径为2，高．为底面圆周上三点，且．是线段的中点，满足．

(1)求三棱锥的体积；
(2)记二面角的大小为，二面角的大小为．求的值．

8 . 如图，在圆锥中，若轴截面是正三角形，C为底面圆周上一点，F为线段上一点，D（不与S重合）为母线上一点，过D作垂直底面于E，连接，且．

(1)求证：平面平面；
(2)若为正三角形，且F为的中点，求平面与平面夹角的余弦值．

9 . 如图1，在梯形中，，过分别作梯形的高，交于点，沿所在直线将梯形折叠，使得点与点重合，记为点，如图2，M是中点，是中点.

(1)证明：直线平面；
(2)是线段上异于端点的一点，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求平面与平面的夹角的余弦值.
条件①：；
条件②：四棱锥的体积为；
条件③：点到平面的距离为；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

10 . 如图（1）所示中，，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图（2）所示的位置，使得．连接得到四棱锥．记的中点为，连接．

(1)证明：平面；
(2)点在线段上且，连接，求平面与平面的夹角的余弦值．