1 . 我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线,都有令人惊奇的光学性质,且这些光学性质都与它们的焦点有关.如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上,经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点(如图所示,其中是反射镜面也是过点处的切线).已知双曲线(,)的左右焦点分别为,,从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处(点P在第一象限),经双曲线反射后过点.
当,,且直线的倾斜角为时,求反射光线所在的直线方程;
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处,且三点共线,经双曲线反射后过点,,,延长,分别交两条渐近线于,点是的中点,求证:为定值.
(3)在(2)的条件下,延长交y轴于点,当四边形的面积为8时,求的方程.
(1)请根据双曲线的光学性质,解决下列问题:
当,,且直线的倾斜角为时,求反射光线所在的直线方程;
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处,且三点共线,经双曲线反射后过点,,,延长,分别交两条渐近线于,点是的中点,求证:为定值.
(3)在(2)的条件下,延长交y轴于点,当四边形的面积为8时,求的方程.
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解题方法
2 . 费马原理是几何光学中的一条重要定理,由此定理可以推导出圆锥曲线的一些性质,例如,若点是双曲线(为的两个焦点)上的一点,则在点处的切线平分.已知双曲线的左、右焦点分别为,直线为在其上一点处的切线,则下列结论中正确的是( )
A.的一条渐近线与直线相互垂直 |
B.若点在直线上,且,则(为坐标原点) |
C.直线的方程为 |
D.延长交于点,则的内切圆圆心在直线上 |
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2024-04-19更新
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409次组卷
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2卷引用:河南省焦作市2024届高三第二次模拟考试数学试题
名校
解题方法
3 . 键线式可以简洁直观地描述有机物的结构,在有机化学中极其重要.有机物萘可以用左图所示的键线式表示,其结构简式可以抽象为右图所示的图形.已知与为全等的正六边形,且,点为该图形边界(包括顶点)上的一点,则的取值范围为( )
A. | B. | C. | D. |
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2024-01-25更新
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867次组卷
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4卷引用:2023年普通高等学校招生全国统一考试数学原创卷(二)
2023年普通高等学校招生全国统一考试数学原创卷(二)湖南省2024届高三数学新改革提高训练五(九省联考题型)2024届高三新改革适应性模拟测试数学试卷四(九省联考题型)(已下线)考点4 平面向量的范围问题 --2024届高考数学考点总动员【练】
解题方法
4 . 如图,个半径为的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切),设为八个圆形区域的并集,斜率为的直线将划分为面积相等的两个区域,则坐标原点到直线的距离为___________ .
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名校
5 . 设直线与两坐标轴的交点分别为,点为线段的中点,若圆上有且只有一个点,使得直线平分,则______ .
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2023-05-12更新
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769次组卷
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2卷引用:安徽省黄山市2023届高三三模数学试题
名校
6 . 过点的直线与拋物线交于点,(在第一象限),且当直线的倾斜角为时,.
(1)求抛物线的方程;
(2)若,延长交抛物线于点,延长交轴于点,求的值.
(1)求抛物线的方程;
(2)若,延长交抛物线于点,延长交轴于点,求的值.
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2023-04-23更新
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554次组卷
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4卷引用:四川省绵阳市2023届高三三模文科数学试题
四川省绵阳市2023届高三三模文科数学试题江西省全南中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题(已下线)重难点突破06 弦长问题及长度和、差、商、积问题(七大题型)-1四川省成都市川大附中新城分校2024届高三下学期开学考试数学(理)试题
2023·全国·模拟预测
7 . 从的外接圆上任意一点分别向的三边所在直线作垂线,垂直分别为,,,则,,三点共线,这一性质就是著名的西摩松定理,这条直线叫作西摩松直线.若圆与轴负半轴、正半轴分别交于点,,第一象限内的点在圆上,点关于轴的对称点为,点在轴及直线上的射影分别为,,则直线的方程为______ .
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名校
8 . 对方程表示的图形,下列叙述中正确的是( )
A.斜率为2的一条直线 |
B.斜率为的一条直线 |
C.斜率为2的一条直线,且除去点(,6) |
D.斜率为的一条直线,且除去点(,6) |
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2023-02-07更新
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652次组卷
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5卷引用:吉林省白山市抚松县第一中学2022-2023学年高三第十一次校内模拟数学试题
吉林省白山市抚松县第一中学2022-2023学年高三第十一次校内模拟数学试题沪教版(2020) 选修第一册 高效课堂 第一章 1.2 直线的方程(1)河南省郑州市郑州外国语学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题(已下线)第01讲 直线的方程(九大题型)(讲义)-1(已下线)专题02 直线的方程10种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(苏教版2019选择性必修第一册)
9 . 已知圆,过点与圆上一点的直线的斜率范围是_______ ;若点A恰好为过其所在的直线中对圆O张角最大的点(张角是指这个点到圆所作两条切线的夹角),则此直线的表达式为_______________ .
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10 . 三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线.已知圆的圆心在的欧拉线上,为坐标原点,点与点在圆上,且满足,则下列说法正确的是( )
A.圆的方程为 |
B.的方程为 |
C.圆上的点到的最大距离为 |
D.若点在圆上,则的取值范围是 |
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2022-05-23更新
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852次组卷
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6卷引用:广东省2022届高三模拟押题卷(二)数学试题
广东省2022届高三模拟押题卷(二)数学试题浙江省强基联盟2022届高三下学期6月统测数学试题二(已下线)2.2 直线与圆的位置关系(难点)(已下线)重难点11九种直线和圆的方程的解题方法-2(已下线)考向33 一类与圆有关的最值与范围问题(七大经典题型)(已下线)专题03 圆的取值范围与最值问题题型全归纳 (2)