2023·全国·模拟预测
解题方法
1 . 已知双曲线
的右顶点为
，右焦点为
，点到
的一条渐近线的距离为
，动直线
与在第一象限内交于B，C两点，连接
，
.
(1)求E的方程；
(2)若
，证明：动直线过定点.
的右顶点为，右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，动直线与在第一象限内交于B，C两点，连接，.(1)求E的方程；
(2)若
，证明：动直线过定点.
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解题方法
2 . 三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角
的顶点为，在
的两边上截取
，连接
，在线段上取一点
，使得
，记
的中点为
，以为中心，
为顶点作离心率为2的双曲线
，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线
在
内部），则
.在上述作法中，以为原点，直线为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，若
，点在轴的上方.的方程；
(2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点
，点到直线
的距离为
.
证明：①
为定值；
②.
的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.
的方程；(2)若过点
且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.证明：①
为定值；②
.
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解题方法
3 . 已知双曲线
：
（
，
）的一条渐近线与双曲线
：
的一条渐近线垂直，且的一个焦点到的一条渐近线的距离为2．
(1)求的方程；
(2)若上任意一点关于直线
的对称点为
，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于
求证：
为定值．
：（，）的一条渐近线与双曲线：的一条渐近线垂直，且的一个焦点到的一条渐近线的距离为2．(1)求
的方程；(2)若
上任意一点关于直线的对称点为，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于求证：为定值．
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2024-02-03更新
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1007次组卷
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2卷引用：2024届高三新改革适应性模拟测试数学试卷五（九省联考题型）
4 . 已知双曲线：的渐近线为
，焦距为
，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为
、、
、.
(1)求的方程；
(2)证明：
；
(3)求
的取值范围.
：的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、.(1)求
的方程；(2)证明：
；(3)求
的取值范围.
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2023·全国·模拟预测
解题方法
5 . 已知椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2的面积为
，点F2到直线AF1的距离为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若椭圆E的左顶点为B，P为椭圆上一点（不与左、右顶点重合），直线BP交直线l：x=4于点R，∠PF2B的平分线交直线BP于点Q，求证：
.
的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2的面积为，点F2到直线AF1的距离为.(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若椭圆E的左顶点为B，P为椭圆上一点（不与左、右顶点重合），直线BP交直线l：x=4于点R，∠PF2B的平分线交直线BP于点Q，求证：
.
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名校
解题方法
6 . 已知椭圆：
的右顶点为A，上顶点为，直线的斜率为
，原点到直线的距离为
.
(1)求的方程；
(2)直线交于，
两点，
，证明：恒过定点.
：的右顶点为A，上顶点为，直线的斜率为，原点到直线的距离为.(1)求
的方程；(2)直线
交于，两点，，证明：恒过定点.
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2022-06-13更新
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809次组卷
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3卷引用：2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（全国乙卷A）理科数学试题
名校
解题方法
7 . 已知抛物线
的焦点到直线
的距离为
．
(1)求的方程；
(2)若点
在上，
，
是的两条切线，，是切点，直线与交于点
，证明：存在定点
，使得
．
的焦点到直线的距离为．(1)求
的方程；(2)若点
在上，，是的两条切线，，是切点，直线与交于点，证明：存在定点，使得．
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2022-10-11更新
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615次组卷
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2卷引用：2023年普通高等学校招生星云线上统一模拟考试Ⅰ数学试卷
2021·全国·模拟预测
8 . 已知椭圆：的左､右顶点分别为，，下顶点为，点到直线
的距离为
，且椭圆过点
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，，为椭圆上不同的三点，且，关于原点对称，原点到直线
的距离等于，求证：
.
：的左､右顶点分别为，，下顶点为，点到直线的距离为，且椭圆过点.(1)求椭圆
的标准方程；(2)设
，，为椭圆上不同的三点，且，关于原点对称，原点到直线的距离等于，求证：.
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2021·全国·模拟预测
9 . 过原点O的直线与拋物线C：
（
）交于点A，线段OA的中点为M，又点
，
．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处，并解答下列问题：
①
，②
；③
的面积为
．
(1)______，求拋物线C的方程；
(2)在（1）的条件下，过y轴上的动点B作拋物线C的切线，切点为Q（不与原点O重合），过点B作直线l与OQ垂直，求证：直线l过定点．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（）交于点A，线段OA的中点为M，又点，．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处，并解答下列问题：①
，②；③的面积为．(1)______，求拋物线C的方程；
(2)在（1）的条件下，过y轴上的动点B作拋物线C的切线，切点为Q（不与原点O重合），过点B作直线l与OQ垂直，求证：直线l过定点．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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2021-12-30更新
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558次组卷
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4卷引用：2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学信息卷（六）
（已下线）2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学信息卷（六）（已下线）解密16 抛物线方程（分层训练）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）2023版 北师大版(2019) 选修第一册 名师精选卷 高考水平模拟性测试（二）江西省丰城市第九中学2021-2022学年高二上学期期末数学（文）试题
