1 . 已知椭圆的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．

(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；
(3)证明：为定值？并求的最大值．

2 . 已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点．
(1)若为椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，求椭圆的离心率；
(2)若为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点，椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程．

3 . 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且.
(1)求椭圆的离心率；
(2)椭圆的上顶点为，不过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

4 . 已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为．
(1)求椭圆的离心率和的面积；
(2)已知直线与椭圆交于A，B两点．过点作直线的垂线，垂足为．判断直线是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由．

5 . 已知椭圆）的上下顶点分别为和，左右顶点分别为和，离心率为.过椭圆的左焦点的直线交于点（都异于为中点.
(1)求椭圆的方程；
(2)记直线的斜率分别为，求的最小值.

6 . 已知椭圆的左，右焦点分别为、，上下顶点分别为M、N，点的坐标为，在下列两个条件中任选一个：①离心率；②四边形的面积为4，解答下列各题.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交椭圆于A、B两点，判断点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.

7 . （1）求长轴长为12，离心率为，焦点在轴上的椭圆标准方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程．

8 . 已知椭圆：（）的离心率为，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与自右向左依次交于点，，点在线段上，且，求证：点横坐标为定值．

9 . 已知椭圆的离心率为，且．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线l与E自右向左依次交于点A，B，点Q在线段AB上，且，求证：为定值．

10 . 已知椭圆：（）的离心率为，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足.
(1)求椭圆方程；
(2)设为椭圆右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点.求证：，两点的纵坐标之积为定值.