名校
解题方法
1 . 如图，由部分椭圆
和部分双曲线
，组成的曲线
称为“盆开线”．曲线与
轴有
两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为
．
的直线
与相切于点
，求点的坐标及直线的方程；
(2)过
的直线
与相交于点
三点，求证：
．
和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．
的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；(2)过
的直线与相交于点三点，求证：．
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2 . 已知椭圆
的离心率为
分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点
为椭圆上异于
的一动点，
面积的最大值为
.
(1)求的方程；
(2)过椭圆的右焦点
的直线与交于
两点，记
的面积为
，过线段
的中点
作直线
的垂线，垂足为
，设直线
的斜率分别为
.
①求的取值范围；
②求证：
为定值.
的离心率为分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于的一动点，面积的最大值为.(1)求
的方程；(2)过椭圆
的右焦点的直线与交于两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为.①求
的取值范围；②求证：
为定值.
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2024-03-30更新
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1813次组卷
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4卷引用：第7讲：圆锥曲线的模型【练】
2024高三·全国·专题练习
解题方法
3 . 已知椭圆E：
的左顶点为A，设直线l交椭圆E于M、N两点，且以
为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并且求出此定点的坐标.
的左顶点为A，设直线l交椭圆E于M、N两点，且以为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并且求出此定点的坐标.
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2024高三下·全国·专题练习
解题方法
4 . 如图，椭圆
有两顶点
，
，过其焦点
的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，且直线l的斜率大于1，直线AC与直线BD交于点Q.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：
为定值.
有两顶点，，过其焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，且直线l的斜率大于1，直线AC与直线BD交于点Q. (1)求椭圆
的方程；(2)求证：
为定值.
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
5 . 椭圆：
（
）的左焦点为
，且椭圆经过点
，直线
（
）与交于，
两点（异于点）.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线
与直线
的斜率之和为定值，并求出这个定值.
：（）的左焦点为，且椭圆经过点，直线（）与交于，两点（异于点）.(1)求椭圆
的方程；(2)证明：直线
与直线的斜率之和为定值，并求出这个定值.
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名校
解题方法
6 . 已知椭圆C：
过点
，长轴长为
.
(1)求椭圆方程及离心率；
(2)直线l：
与椭圆C交于两点M、N，直线AM、AN分别与直线
交于点P、Q，O为坐标原点且
，求证：直线l过定点，并求出定点坐标.
过点，长轴长为.(1)求椭圆方程及离心率；
(2)直线l：
与椭圆C交于两点M、N，直线AM、AN分别与直线交于点P、Q，O为坐标原点且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标.
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2024-03-06更新
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933次组卷
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4卷引用：北京市海淀区北京大学附属中学预科部2023-2024学年高三下学期3月阶段练习数学试题
7 . 已知椭圆
的一个焦点是
．直线
与直线
关于直线
对称，且其相交于椭圆的上顶点．
(1)求
的值；
(2)设直线
分别与椭圆交于
两点，证明：直线
过定点．
的一个焦点是．直线与直线关于直线对称，且其相交于椭圆的上顶点．(1)求
的值；(2)设直线
分别与椭圆交于两点，证明：直线过定点．
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名校
解题方法
8 . 如图，已知椭圆
的短轴长为
，焦点与双曲线
的焦点重合.点
，斜率为
的直线
与椭圆交于两点.
的取值范围，并求椭圆的方程.
(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)
极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆
，极点
（不是原点）对应的极线为
，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点
，则对于
上任意一点
，均有
（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接
交
轴于点
.连接
分别交椭圆于
两点.
①设直线
、分别交轴于点
、点
，证明：点为、的中点；
②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标.
的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.
的取值范围，并求椭圆的方程.(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)
极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆
，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点.①设直线
、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点；②证明直线：
恒过定点，并求出定点的坐标.
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9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为
，
，离心率为经过点且倾斜角为
的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且
的周长为8．将平面
沿x轴向上折叠，使二面角
为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为
，
．
时，
①求证：
；
②求平面
和平面
所成角的余弦值；
(2)是否存在，使得折叠后
的周长为
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，．
时，①求证：
；②求平面
和平面所成角的余弦值；(2)是否存在
，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
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名校
解题方法
10 . 已知椭圆
的上、下顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为
，椭圆的短轴长为．
(1)求的标准方程；
(2)已知
，直线
与椭圆的另一个交点为，且直线
与
相交于点，证明：点在定直线上．
的上、下顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，椭圆的短轴长为．(1)求
的标准方程；(2)已知
，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与相交于点，证明：点在定直线上．
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