1 . 已知椭圆的离心率为．直线经过点和椭圆的上顶点，其斜率为．

   

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．求证：当变化时，直线过定点．

2 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，斜率为且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线于点．若．求证：直线l过定点．

3 . 已知中心在原点，长轴在轴上的椭圆的左右顶点分别为和，P为椭圆上的除左右顶点外的任一点，且，斜率之乘积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过分别作两条直线与椭圆交于点，点；线段的中点为，线段的中点为，若，求证：直线过定点.

4 . 已知椭圆的短轴长为，左顶点到左焦点的距离为1.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图所示，点A是椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，且都在轴的上方，点的坐标为.证明：.

5 . 已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
(1)求椭圆和双曲线的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．

6 . 已知四边形ABCD的四个顶点均在椭圆E：上，，，直线AB的方程为．当时，四边形ABCD的面积为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设AD，BC的延长线相交于点M，当k变化时，求证：的面积为定值．

7 . 设椭圆，是上一个动点，点，长的最小值为．
(1)求的值：
(2)设过点且斜率不为0的直线交于两点，分别为的左、右顶点，直线和直线的斜率分别为，求证：为定值．

8 . 已知椭圆的离心率为，长轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的上、下焦点分别为、，过点作斜率为的直线交椭圆于A，B两点，直线，分别交椭圆于M，N两点，设直线MN的斜率为.求证：为定值.

9 . 已知椭圆的焦距为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且．
①求证：直线经过定点；
②设和的面积分别为，求的最大值．

10 . 已知椭圆，直线过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，，（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，证明点在定圆上，并求出定圆的方程．