1 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点，为坐标原点，为椭圆上的两个动点，线段的中点在直线上，求面积的最大值．

3 . 已知椭圆，点为椭圆上非顶点的动点，点，分别为椭圆的左、右顶点，过点，分别作，，直线， 相交于点，连接（为坐标原点），线段与椭圆交于点，若直线，的斜率分别为，.
(1)求的值；
(2)求面积的最大值．

4 . 已知椭圆的长轴长是6，离心率是.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设O为坐标原点，过点的直线l与椭圆E交于A，B两点，判断是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．

6 . 已知椭圆的离心率为，圆与轴相切，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，是否存在直线使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线交椭圆于两点，求线段的垂直平分线方程．

8 . 已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第二象限，直线被圆截得的线段的长为．
(1)求直线的斜率；
(2)当时，①求该椭圆的方程；②设动点在椭圆上，若直线的斜率小于，求直线（为原点）的斜率的取值范围．

9 . 如图，设点A，B的坐标分别为，，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为.

(1)求P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹为C，点M､N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足APOM，BPON，求△MON的面积.

10 . 已知在平面直角坐标系中，动点满足到定点和直线的距离之比为．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若与原点距离为的直线：与曲线相交于A，两点，直线与直线平行，且与曲线相切于点位于直线的两侧，记，的面积分别为，，求的取值范围．